Travaux dirig´es 7, Introduction aux sch´emas affines.
Sources : Livre de Atiyah Mac Donald, le livre de D. Eisenbud, de Liu, de Lang (Algebra)
Dimension, composantes irr´ eductibles
1. Soit A un anneau int`egre principal, montrer que A est de dimension de Krull
´
egal `a 1.
2. SoitAun produit fini de corpsk1, . . . , kn. Montrer queAest artinien et d´ecrire Spec A.
3. SoitK un corps et B =K[t2, t3]. Montrer que B est int`egre, de dimension de Krull ´egale `a 1. Montrer queX =Spec Best hom´eomorphe `aSpec K[x, y]/y2− x3 et donc que Spec B est hom´eomorphe `a une courbe affine ferm´ee du plan affine. Montrer qu’il existe des morphismes finis A1K →X →A1K.
4. SoitAun anneau noetherien. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes : a) A est artinien,
b) Spec Aest discret et fini, c) Spec Aest discret.
5. SoitAun anneau noetherien. On suppose queA est artinien, montrer qu’il est de longueur finie. (On pourra construire une suite d´ecroissante d’id´eauxMi de A de sorte que Mi+1/Mi soit simple.)
6. Soitk un corps et A une k-alg`ebre de type fini.
a) Soit A un anneau artinien, alors A est semi-local. On admet que A est un produit fini d’anneaux locaux artiniens A ' A1 × · · · ×An. Montrer, en utilisant le Nullstellensatz, que chaque Ai est une k-alg`ebre finie, puis que Aest une k-alg`ebre finie. On pourra aussi utiliser le fait que chaque Ai est de longueur finie.
b) R´eciproquement, on suppose que A est une k-alg`ebre finie, montrer que A est artinien.
7. Est-ce que l’intersection de deux ferm´es irr´eductibles d’un espace topologique X est irr´eductible ?
8. a) Soit Z un sous-ensemble ferm´e d’un espace topologique X. Montrer que codim(Z, X) = 0 si et seulement siZ contient une composante irr´eductible de X. Donner un exemple avec X non irr´eductible, dim Z < dim X et codim(Z, X) = 0.
b) Soit V un anneau de valuation discr`ete, d’uniformisante t,A=V[T],X = Spec A, f =tT −1.
1
i. Montrer que l’id´eal (f) est maximal. Soient x le point de X correspon- dant `a (f) et OX,x l’anneau localA(f).
Montrer que X est irr´eductible et que dimOX,x = 1. On pourra mon- trer pour cela que f K[T]T
V[T] = f V[T] par exemple en utilisant la valuationt-adique.
Montrer que
codim({x}, X) +dim{x}< dimX.
ii. Soit K = F rac(V), k = V /tV, le corps r´esiduel de V, B = K ×k et ϕ : V → B d´efini par ϕ(x) = (x, s(x)) o`u s est la surjection canonique V →k. Montrer queB est uneV-alg`ebre de type fini, que l’application f d´eduite de ϕ: Spec B→Spec V est surjective et que dim(Spec V)>
dim(Spec B).
2
