Montrer queZ[√ d]est un sous anneau deR

MPSI B DM 8 29 juin 2019

Soit d un nombre entier strictement positif dont la racine carrée est irrationnelle. On pose

Z[√

d] ={a+b√

d,(a, b)∈Z²} On utilisera librement le fait que pour tout élément z∈Z[√

d]il existe un unique couple (a, b)d'entiers tels que

z=a+b√ d On dénit des applicationsc etN dansZ[√

d]en posant

∀(a, b)∈Z : c(a+b√

d) =a−b√ d

∀(a, b)∈Z : N(a+b√

d) =a²−db² On démontre dans la partie I queZ[√

d]est un sous-anneau deR, on désigne parIl'ensemble des inversibles de ce sous-anneau.

On suppose quedest tel queIne se réduit pas à{−1,1}. On ne cherchera pas ici à savoir pour queldcela se produit.

On introduit aussi les partiesI₊₊, I₊₋, I₋₊, I₋₋ dénies par z∈I++⇔z∈I, z >0, c(z)>0 z∈I₊₋⇔z∈I, z >0, c(z)<0 z∈I−+⇔z∈I, z <0, c(z)>0 z∈I₋₋⇔z∈I, z <0, c(z)<0

Partie I

1. Montrer queZ[√

d]est un sous anneau deR.

2. Montrer quecest bijectif et : c(1) = 1, ∀(x, y)∈Z[

√

d]²: c(x+y) =c(x) +c(y), c(xy) =c(x)c(y) On dit quecest un automorphisme de l'anneauZ[√

d]. 3. Montrer queN(zz⁰) =N(z)N(z⁰)pour tous les z,z⁰ dansZ[√

d]. 4. Montrer qu'un entierz deZ[√

d]est inversible si et seulement si N(z)∈ {−1,1}

Partie II

1. Soit z et z⁰ dans l'un des ensembles I₊₊, I₊₋, I₋₊, I₋₋. Préciser parmi I₊₊, I₊₋, I₋₊,I₋₋, l'ensemble contenant _z¹ et zz⁰. Présenter les résultats dans un tableau.

2. Montrer queI₊₊∪I₊₋ est un sous groupe de I pour la multiplication. On le noteI₊. Montrer queI₊₊ est un sous-groupe deI₊.

3. Montrer queI₊₊ ne se réduit pas à{1}.

Partie III

On admet que les points de coordonnées(x, y)vériant x²−dy²∈ {1,−1}

forment les quatre branches de deux hyperboles d'asymptotes d'équations x−√

dy= 0, x+√ dy= 0 On noteHl'ensemble de ces points.

À chaque élémentx+√

dydeI on associe le point de coordonnées(x, y)surH. Préciser sur un dessin les branches sur lesquelles sont situés les points associés àI++, I₊₋, I₋₊, I₋₋

Partie IV

1. Soitxety deux entiers et z=x+y√

d, montrer que z∈I++ ⇒ x >0 z∈I++etz >1 ⇒ y >0

2. On dénit une partieX deRpar X =

z+c(z)

2 tqz∈I++ etz >1

Montrer queX admet un plus petit élément.

3. Montrer que

{z∈I++ tqz >1}

admet un plus petit élément.

Dans toute la suite, on noteramce nombre réel élément deI++.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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1 Rémy Nicolai M0508E

MPSI B DM 8 29 juin 2019

Partie V

1. Montrer que le sous-groupe deI₊₊ engendré parmest égal à I₊₊. 2. On suppose queI₊₋ contient un entierz.

a. Montrer quez² est dansI₊₊.

b. Montrer qu'il existewdansI₊₋ tel que m=w².

c. Montrer que le sous-groupe deI+ engendré parwest égal àI+. Partie VI

1. Dans cette questiond= 2, montrer que le sous-groupe deI++ engendré par3 + 2√ 2 est égal àI++ et que le sous-groupe deI+ engendré par1 +√

2 est égal àI+. 2. Dans cette questiond= 3.

a. Montrer qu'il n'existe pas d'entiersx, ytels que x²−3y²=−1 On pourra considérer les restes dans la division par 4.

b. Montrer que le sous-groupe deI++ engendré par2 +√

3est égal à I++.

c. Décrire, à l'aide d'une suite dénie par récurrence l'ensemble des couples d'entiers naturels tels que

x²−3y²= 1

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