La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre

(1)

ACTIVITE 3^EME RACINES CARREES FICHE 1

d

l

L ACTIVITE 1.

On veut connaître la mesure des diagonales de divers rectangles dont la largeur est notée

l

et la longueur L.

1°/ Compléter le tableau ci-dessous en utilisant le théorème de Pythagore.

l

³ ⁵ ⁷ ^0,9 ^3,3 ¹

L 4 12 24 4 5,6 2

d ²

2°/Le nombre d peut-il être négatif ? Pourquoi ?

3°/ Compléter alors la ligne suivante en utilisant la touche de la machine.

d

4°/Est-on sûrs, pour chacune des cases de la ligne précédente, d’avoir donné la valeur exacte de d ?

Pour quelle case ne peut-on pas l’affirmer ? 5°/Reprendre la valeur de la dernière case : A-t-on le droit d’écrire d = 2,236067977 ?

Afin de répondre à cette question, examinons les affichages obtenus après les deux séquences calculatrice suivantes :

Séquence 1 : 5 x² Séquence 2 : 2,236067977 x² Affichage : Affichage :

Comme (13)² = 169, on peut écrire 169 = 13 ; de même, (4,1)² = 16,81 , donc 16,81 = 4,1.

En revanche, il n’existe pas de nombre décimal dont le carré égal à 5.

Dans la dernière case de notre tableau, la valeur exacte de d s’écrit donc 5 et se lit racine de cinq.

Dans ce cas, la calculatrice ne peut nous donner qu’une valeur approchée de d.

On a donc : .d = 5 ó 2,236067977.

La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre

La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre aa dont le dont le

est a. est a.

ACTIVITE 2.

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

A l’aide de la calculatrice, et en particulier des touche et x² , trouver la bonne réponse.

a b c d

1 25 = 625 = 5 = -5 n’existe pas

2 -25 = 5 = -5 n’existe pas = 25

3 - -25 = -5 = 5 n’existe pas = 25

4 5² = 625 = 25 n’existe pas = 5

5

( )

^{5 ²} ^{= 625} ^{= 25} n’existe pas = 5

En examinant les questions et leurs réponses éxactes, on peut dire que :

§ La racine carrée d’un nombre négatif La racine carrée d’un nombre négatif ..

§ Pour tout nombre positif a, on a Pour tout nombre positif a, on a : : a² a² = = et et (( aa ² = )) ² =

(2)

ACTIVITE 1.

a b a b ab ab a×× b

4 9 … … … … …

… … 5 11 … … …

… … 3 … … 12 …

… … 0,5 20 … … …

… … 1,1 … … … 8,8

… … … 0,1 … … 0,08

1. Quelle relation semble-t-il exister entre ab et a× b ? . 2. Démonstration :

On considère deux nombres positifs a et b, compléter :

(

^a×b ² = ;

) (

^a× b ² =

)

×

(

b ² = .

)

les nombres a et b étant positifs, que peut-on déduire pour : a×b et a× b ? . Justifier. . 3. De la même façon, montrer que a

b = a b :

ACTIVITE 2. (Applications)

1. Etablir la liste des carrés des entiers de 2 à 14 :

a 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

a²

2. Voici un exemple de calcul : 50 = 25×2 = 25× 2 = 5²× 2 = 5 2.

En procédant de même, recopier et compléter les égalités suivantes :

20 = 4×5 = … 5 ; 4

9 = ….

…. = …

…

507 = 169×3 = 13 …. ; 81

… = … 5

1440 = … 10 ; 7

121 = 7

…

99 = … …. ; 12

3 = …

… = … 58 320 = 12 ….. = 12×9 ….. = …. ….. . 0,8

5 = … 3. Chasser l’intrus parmi les six nombres suivants :

4

9 ; 2

3 ; 2

3 ;

 

 

2

3 ² ;

 



 



2 3 ².

(3)

EXERCICES 3^EME

R

ACINES CARREES FICHE 1

EXERCICE 1.

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Trouver la bonne réponse sans untiliser la calculatrice.

a b c d

1 les nombres dont le

carré est 16 sont … 16 et -16 256 et –256 4 et –4 2 et -2

2 tout nombre positif … a deux racines carrées a une racine

carrée unique n’a pas toujours

de racine carrée n’a jamais de racine carrée

3 100 … n’existe pas = -10 = 10 = 10 000

4 -25 … = -5 = 5 = 25 n’existe pas

5 3² … = 2 = 3 = 4 = 9

6 49 … = 7 = 7 7 = -7 = 7²

7 3 … = 1,7 < 1,7 > 1,7 = 3

8 9× 7 … = 9+7 = 9×7 = 9 - 7 = 9 7

9 10

12 … = 10

12 = 12 - 10 = 10×12 = 12

10

(

^{7 2 ² …}

)

^{= 14} ^{= 28} ^{= 98} ^{= 196}

11 4+25+49 … = 4+25+49 = 78 = 2+5+7 = 8,8

12 18+ 50+ 98 = 166 = 2 15 = 3 10 = 15 2

EXERCICE 2.

Parmi les écritures suivantes, lesquelles sont égales à 3 ; à –3 ? Lesquelles n’ont pas de sens ?

(

^{- 3}

)

^{² ;} ^-

(

³

)

^{² ;} ^{- 9 ;} ^{-3² ;}

(

^-3²

)

^; ^{3² ;} ^-9 ^-

( )

^-3 ^² Est égale à 3

Est égale à 3 N’existe pas EXERCICE 3.

Calculer lorsque cela est possible :

13²= ……. ; 37²= ……. ; 11× 11= …. ; -16= ……… 136²=…….. -

( )

¹⁰ ^{²= ….… ;}

- 10²= ……. ; 49= ….… ; 0,04= ……. ; 16 =…… 3

48 =…….. 0,49= ….… ; EXERCICE 4.

Donner la valeur décimale exacte ou approchée à 0,01 près par défaut de chacun des nombres suivants :

2 = … 3= … 4= … 5= … 6= …

7= … 13= … 1 111= … 1 000= … 0,75= …

69= … 52= … 108= … 1 209= … 9 999= …

(4)

EXERCICE 1.

Compléter les égalités suivantes :

a. 18 = … ×2 = … × 2 = … 2 ; b. 48 = … ×3 = … 3 ;

c. 44 = 4× … = 2 … . EXERCICE 2.

Calculer :

t =

(

^{2 3 ² ;}

)

v =

(

^{7 - 4 ² +}

) (

^{-3 - 2 ² ;}

)

u =

(

^{-3 5 ² ;}

)

^{w =}

(

^{1 - 3 ² +}

)  

 

1 2 - 2 ² EXERCICE 3.

Parmi les expressions suivantes, indiquer celles que l’on peut écrire sans radical et, dans ce cas, effectuer les simplifications correspondantes :

16+ 1 ; 13+ 3 ; 3²+

( )

^{3 ² ;}

2² + 3² ;

(

^{3 - 7 ² ;}

)

^5²^×

( )

^{3 ² ;}

5² + 4 ; 2²×3² . EXERCICE 4.

Exprimer le plus simplement possible :

7 × 28 ; 3 8 × 18 ; 5²×2² ; 2 72 × 2 ;

(

^{3 - 5 ² ;}

)

^{5² - 2² ;}

(

^{1 - 2 ² +}

) (

^{4 - 1 ² ;}

) (

^{5² + 2² .}

)

EXERCICE 5.

Calculer : a = 2× 2

9 ; b = 1

5 × 45 7 ; c = 3 7× 1

28 ; d = 2

5 × 150 15 . EXERCICE 6.

Montrer que les nombres suivants sont des entiers : a = 2

2 × 3

2 × 96 ; b = 3 × 25 3 ; c = 2

7 × 14

2 ; d = 81 × 7² . EXERCICE 7.

Mettre les nombres suivants sous la forme a 3 où a est un entier :

a = 2× 6 ; b = 5× 15 ; c = 7× 21 ; d = 27 ; e = 300 ; f = 5 3×4² ;

EXERCICE 8.

A = 5 - 3 5 + 75 ; B = 5 + 5 ;

C = 20 + 45 - 180.

EXERCICE 9.

A = 275 - 3 44 + 5 99 ; B = -5 176 + 25 11.

EXERCICE 10.

Mettre les nombres suivants sous la forme a b avec a et b entiers et b le plus petit possible :

a = 7×3² ; b = 2×3² ; c = 3²×11 ; d = 24 ; e = 27 ; f = 162 ; g = 124 ; h = 245 .

EXERCICE 11.

Simplifier les expressions suivantes : x = 64 + 25 - 121 – 10 000 ; y = 5

8 × 2× 1 20 . EXERCICE 12.

Ecrire les fractions suivantes avec un dénominateur entier le plus petit possible :

a = 6

72 ; b = 75

125 ; c = 6 36 ; d = 10

0,1 ; e = 20

45 ; f = 8 18 . EXERCICE 13.

Ecrire les fractions suivantes sans radical au dénominateur :

a = 3

2 ; b = 4

7 ; c = -2

3 2 ; d = -8 2 5 3 ; e = 5 3

3 5 ; f = 4

4 ; g = - 25

6 ; h = 5 3 5 ; i = 75× 32 ; j = 121×25×7 .

EXERCICE 14.

Calculer, sans calculatrice :

a = 43+ 31+ 21+ 13+ 7+ 3+ 1 ; b = 7× 13

91 ; c = × 3× 21× 1

6 ; d = 2²× 3× 5 ; e = 2 2×3 3× 6 ; f = 1 000× 500

500 .

(5)

EXERCICES 3^EME

R

ACINES CARREES FICHE 3

EXERCICE 1.

Réduire, sans utiliser la calculatrice : a = 3 3+2 3+5 3 - 7 3 ; b = 2 5 - 5 5 - 4 5+3 5 ; c = - 11+10 11 - 7 11 - 2 11 ; d = 3

2 7 – 2 3 7 . EXERCICE 2.

Réduire, sans utiliser la calculatrice : a = 18+ 50 - 8+ 32 ; b = 2 50+3 162 - 5 8 ; c = 20+ 125 - 245+ 5 ; d = 5 12+3 48 - 2 75 . EXERCICE 3.

Développer et réduire les produits suivants : a =

(

^{2+ 5}

) (

^{3 - 5 ;}

)

b =

(

^{5+ 3}

) (

^{5 - 1 ;}

)

c =

(

⁶⁺²

) (

^{3 - 2 ;}

)

d =

(

^{2 3 - 5}

) (

^{3 - 4 3 .}

)

EXERCICE 4.

Développer et réduire les expressions suivantes : a =

(

^{2 13 + 7 5}

) (

2 13 - 7 5 ;

)

b =

(

2 12 - 3 75 ² ;

)

c =

(

3 2 - 2 ² - 2

) (

8 2 - 12 ;

)

d =

(

^{2 - 3 3}

) (

^{3 - 2 2 .}

)

EXERCICE 5.

Développer et réduire les expressions suivantes : a =

(

^{4+5 2 ² +}

) (

^{2 2 - 3}

) (

^{3 2+5 ;}

)

b =

(

2 - 3 ² -

) (

⁵⁺²

) (

^{5 - 2 ;}

)

c = 2

(

^{3+2 - 3}

) (

^{2+3 ;}

)

d = 1

3

(

^{3 - 1 – 2}

) (

1 - 3 +

)

3 2 3 ;

e =

(

^{7 - 2 ²+}

) (

^{7+2 ² -}

) (

⁷⁺²

) (

^{7 - 2 .}

)

EXERCICE 6.

développer et réduire :

(

²⁺¹

) (

2 - 1 =

)

Que peut-on dire de

(

^{2+1 et}

) (

^{2 - 1}

)

^:

EXERCICE 7.

Le nombre ϕ = 1+ 5

2 est appelé le nombre d’or.

Montrer que ϕ² = 1+ϕ .

EXERCICE 8.

Recopier et compléter le tableau de proportionnalité :

2 3 … 3+1 … - 3 …

6 3 … 2 … -1

Quel est le coefficient ? EXERCICE 9.

Un carré a pour aire 52 cm².

Quelle est la longueur exacte de son côté ? Quelle est la valeur exacte de son périmètre ? EXERCICE 10.

L’aire d’une sphère vaut 400 cm². Sachant que l’aire d’une sphère est donnée par la formule 4πR², quelle est la valeur exacte de son rayon ? En donner l’arrondi au milième.

EXERCICE 11.

Un carré est inscrit dans un cercle de 3 cm de rayon, quelle est la valeur de la longueur de ses côtés ? EXERCICE 12.

Déterminer l’aire du triangle ABC en utilisant la figure.

EXERCICE 13.

L’unité de longueur est le cm. ABCD est un carré tel que AB = 6 .

On pose BE = DG = x et EG =

l

1. Exprimer l en fonction de x.

2. Que vaut l quand :

a) x = 0 ? ; b) x = 6 ? ; c) x = 2 ? EXERCICE 14.

ABCDEFGH est un parallélépipède ectangle tel que : AB=10 cm, AD = 6 cm et AE = 8 cm.

Calculer la valeur exacte de la longueur BH.