Racine carrée d’un nombre positif
Table des matières
I Définition . . . 1
II Racine carrée d’un produit ou d’un quotient . . . 2
III Simplification d’écriture . . . 2
IV Racine carrée et géométrie . . . 3
IV.1 Diagonale d’un carré . . . 3
IV.2 Diagonale d’un cube . . . 3
IV.3 Hauteur d’un triangle équilatéral. . . 4
V Équationx2=b . . . 4
VI Comparaison de deux racines carrées . . . 4
VII Rendre rationnel le dénominateur d’une fraction . . . 5
I Définition
La racine carrée d’un nombre positifaest le nombre positif, notépa, dont le carré vauta. Autrement dit :
aÊ0 paÊ0 pa2=a
Définition
Exemples:
• p 9=3
• p 25=5
• p 2=p
2 (on ne peut pas écrire ce nombre de manière plus simple)
• p 0=0
• p 1=1
•
³p 2´2
=2
• p
(−3)2=p 9=p
32=3 (Bil ne faut pas simplifier trop vite; la racine carrée d’un nombre est un nombre positif).
II Racine carrée d’un produit ou d’un quotient
Soient deux nombresaetbpositifs.
• p
ab=pa×p b
• ra
b = pa
pb siv6=0
Propriété
Démonstration:
• p
ab2=abet³p a×p
b´2
=p a2×p
b2=ab. pabetp
ap
bsont deux nombres positifs dont le carré estabdonc ces deux nombres sont égaux par défi- nition de la racine carrée d’un nombre.
• De même : µra
b
¶2
= a b et
µpa pb
¶2
= pa2 pb2=
a b donc
ra b =
pa pb.
B:Remarque : il n’ pas de règle de calcul pour la racine carrée d’une somme.
Pouraetbpositifs,p
a+b6=p a=p
b. Par exemple :p
16+9=p
25=5 maisp 16+p
9=4+3=7 doncp
16+96=p 16+p
9
III Simplification d’écriture
Pour tous nombresaetbpositifs,p
a2b=ap b
Propriété
En effet :p
a2b=p a2p
b=ap b. Exemples:
1. p 75=p
25×3=p
52×3= 5p 3 2. p
288=p
2×144=p
2×2×72=p
4×72=p
4×9×8=p
4×9×4×2=p
22×32×22×2
=p 22×p
32×p 22×p
2=2×3×2p
2= 12p 2
IV Racine carrée et géométrie
IV.1 Diagonale d’un carré
La diagonale d’un carré de côtéaa une longueur égale àd=ap 2.
Propriété
Démonstration
a
a d
La diagonale tracée sépare le carré en deux tri- angles rectangles isocèles.
D’après le théorème de Pythagore, on ad2=a2+a2= 2a2d’oùd=p
2a2= ap 2.
IV.2 Diagonale d’un cube
La diagonale d’un cube de côtéapour longueurd=ap 3.
Propriété
Démonstration :
B C
A D
F G
E H On considère la diagonale [BD] de la face ABCD et la
diagonale du cube [BH].
Le triangle BDH est rectangle en D. D’après le théorème de Pythagore, on a :
B H2=B D2+D H2=(ap
2)2+a2=2a2+a2=3a2d’où B H=p
3a2= ap 3
=
IV.3 Hauteur d’un triangle équilatéral
La hauteur d’un triangle équilatéral de côtéavaut :h=a p3
2
Propriété
Démonstration:
b
A
b
B
b
C
a
b
H h
ABC est équilatéral de côtéa; on trace la hauteur [C H] de longueurh.
Comme ABC est équilatéral, la hauteur [C H] est aussi une médiane doncAH =
AB 2 =
a 2. Le triangle CAH est rectangle en H.
D’après le théorème de Pythagore,C H2−AC2−AH2= a2−³a
2
´2
=a2− a2
4 =4a2−a2 4 =3a2
4 . On en déduit :h=C H=
s3a2 4 =
ap 3 2
V Équation x
2= b
On considère l’équationx2=b.
• Sib<0, l’équationx2=bn’a pas de solution ( car un carré ne peut pas être négatif).
• Sib=0, l’équationx2=ba pour solutionx=0.
• Sib>0, l’équationx2=ba deux solutions :x= −p
betx=p b
Propriété
Exemples :
1. l’équationx2=36 a deux solutions :x= −p
36= −6 etx=p
36=6 : S ={−8 ; 6}
2. l’équationx2=7 a pour solutionsx= −p
7 etx=p
7 : S =n−p7 ;p7o
Démonstration:
On utilise la relationb−a=p b2−p
a2=
³p b−p
a´ ³p b+p
a´ .
• On supposea<bdoncb−a>0 ;p
b+pa>0 comme somme de nombres positifs, doncp
b−pa>0 car le produit de deux nombres positifs est positif.
• De même, sip a<p
b, alorsp b−p
a>0 etp b+p
a>0 (somme de deux nombre spositifs) doncb−a>0 d’oùa<b.
Exemple: comparer 2p
3 et 3p 2.
On a : 2p 3=p
22×3=p
4×3=p 12 ; 3p
2=p
32×2=p
9×2=p 18.
12<18 doncp 12<p
18 d’où : 2p 3<3p
2
VII Rendre rationnel le dénominateur d’une fraction
On évite de laisser une racine carrée au dénominateur d’une fraction.
On a deux cas :
• On a une expression du type a
pb; on multiple alors numérateur et dénominateur parp b: a
pb = ap
b pb×p
b = ap
b pb2 =
ap b b .
• On a une expression du type a
b+pc; on multiplie numérateur et dénominateur par l’expression conjuguée du dénominateur (meme expression dans laquelle on remplace + par -, ou réciproquement).
a b+pc =
a¡b−pc¢
¡b+pc¢ ¡
b−pc¢=
a¡b+pc¢ b2−pc2 =
a¡b+pc¢ b2−c
Exemples:
• 2
p3= 2×p p 3
3×p
3= 2p 3 3 .
• 5 2+p
3=5¡ 2−p
3¢ 22−p
32 =5¡ 2−p
3¢ 4−3 =5¡
2−p 3¢
1 = 5³
2−p 3´
