Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Feuille d’exercices n°1
Racine n-ième d’un nombre réel positif ou nul
Exercice 1
On rappelle que sin∈N≥2, six∈R, alors le nombre réelxnest défini par : xn:=x×x×. . .×x
| {z }
nfois
.
1. Soitn∈N≥2.
(a) Justifier que pour toutx1∈R,x2∈R:
(x1x2)n=xn1x2n. (b) Justifier que pour toutx∈R∗:
µ1 x
¶n
= 1 xn. (c) Justifier que pour toutx1∈R,x2∈R∗:
µx1
x2
¶n
=x1n x2n.
(d) Justifier quel’assertion suivante est fausse. Pour toutx1∈R,x2∈R, (x1+x2)n=xn1+xn2. 2. Soientm∈N≥2,n∈N≥2. Justifier que pour toutx∈R:
¡xm¢n
=xmn.
Exercice 2
On fixe un nombre entiernsupérieur ou égal à 2 et on introduit la fonctionpdéfinie par :
¯¯
¯¯
p : [0,+∞[ → R
x 7→ xn
1. Démontrer que pour toutx∈R,y∈R: xn−yn=(x−y)¡
x0yn−1+x1yn−2+x2yn−3+. . .+xn−3y2+xn−2y1+xn−1y0¢
| {z }
n−1
X
k=0
xkyn−1−k
.
2. En déduire que pour toutx∈[0,+∞[,y∈[0,+∞[ tels quex<y: p(x)<p(y).
3. On admet le résultat suivant, qui est un cas particulier du corollaire du théorème des valeurs intermé- diaires rencontré en terminale. Il sera démontré plus tard.
Théorème :Soit f une fonction définie sur l’intervalle[a,+∞[, où a est un nombre réel. Si : (H1) f est continue sur[a,+∞[;
(H2) f est strictement croissante sur[a,+∞[
alors :
(C1) f admet une limite finie ou infinie en+∞; (C2) Pour tout y∈
h
f(a), lim
x→+∞f(x)h
, il existe un unique x∈[a,+∞[tel que f(x)=y.
Soity∈[0,+∞[. Déduire du théorème précédent qu’il existe un uniquex∈[0,+∞[ tel que : xn=y.
Ce nombrexest appelé racinen-ième de y et est noté npy. Dans le cas particulier oùn =2, on le nomme racine carrée deyet on le note simplementpy. On a doncpy= 2py.
4. Soity∈[0,+∞[. Que peut-on dire d’un nombre réelαtel queα≥0 etαn=y? Justifier.
5. Calculer 3p 125.
6. Soity∈[0,+∞[. Simplifier¡npy¢n
. Justifier.
7. On suppose dans cette question, et dans cette question seulement, quenest pair. Démontrer que pour touty∈R, np
ynest bien défini, puis simplifier np yn. 8. Démontrer que pour touty1∈[0,+∞[,y2∈[0,+∞[ :
np y1 np
y2= np y1y2. 9. Démontrer que pour touty∈]0,+∞[ :
n
s1 y = 1
np y. 10. Démontrer que pour touty1∈[0,+∞[,y2∈]0,+∞[ :
n
sy1
y2=
np y1 npy2
.
11. Calculer 3 r27
125. Exercice 3
Soientm∈N≥2,n∈N≥2,y∈[0,+∞[. Démontrer que :
mq
np
y= mnp y.
Exercice 4
1. Calculer les carrés des entiers compris entre 0 et 20, puis interpréter ces résultats en termes de racines carrées.
2. Simplifier les racines carrées suivantes :p 40,p
405,p 847,p
9408.
3. Soitx∈[0,+∞[. Montrer que :
px+1−p
x= 1
px+1+p x. 4. Montrer que :
q 8+2p
12=p 2+p
6.
5. Résoudre l’équation :
px2−8x+16=2x+1 d’inconnuex∈R.
