1. La racine carrée d'un nombre réel positif

(1)

5 RACINES

1. La racine carrée d'un nombre réel positif

On admettra que pour tout nombre réel positif, il existe un unique nombre réel positif dont le carré est égal au nombre donné.

Définition 5.1 La racine carrée du nombre réel positif b est l'unique nombre réel positif r dont le carré est égal au nombre b. On le note b :

r = b ¤ r² = b

Le symbole est le radical et l'expression figurant sous ce symbole l e radicande.

Exemples

1) 169 =13 car 13≥0 et 13² =169

2) 25

9 5

=3 car 5

3 ≥0 et 5

3

25 9 Ê 2

Ë ˆ

¯ =

3) 0 =0 car 0≥0 et 0² =0

4) 1=1 car 1≥0 et 1² =1

Remarques

1) Insistons sur le fait qu'une racine carrée est par définition un nombre réel positif.

2) On a par définition pour tout nombre réel positif :

( )

b ²⁼ b et b² = b 3) Pour tout nombre réel, positif ou négatif, b² = b

En omettant la valeur absolue, on risque d'aboutir à des résultats aberrants. Par exemple : (5-4)² = (9-10)² fi 5 - 4 = 9 - 10 fi 1 = -1 !!!

En fait on doit écrire : (5-4)² = 5-4 = 1 et (9-10)² = 9-10 = -1 = 1 4) Il n'existe, par exemple, aucune fraction dont le carré est égal à 2 (cf les exercices). Par

conséquent 2 est un nombre irrationnel.

(2)

6) Si b est un nombre réel strictement positif, il existe deux nombres réels opposés dont le carré est égal à b : - b et b

7) Les calculatrices donnent une valeur exacte ou approchée de la racine carrée d'un nombre réel positif ou nul.

8) A + B π A+B Par exemple : 7 = 9 + 16 π 9+16 = 5

2. Propriétés des radicaux

Théorème 5.2 Soit A et B deux nombres positifs.

1) A B = AB 3) A²B = A B

2) A

B = A

B si Bπ0 4)

( )

A ^k ⁼^A^k Exemples

1) 2◊ 5 = 10 3◊ 11 = 33

2) 9

25 = 9

25 = 3 5

3) 12 = 2²◊3 = 2² 3 = 2 3 18

25 = 18

25 = 3²◊2

5 = 3 2

5 50 = 5²◊2 = 5² 2 = 5 2

2

5 = 10

25 = 10

5 = 1

5 10 3⁶ = (3³)² = 3³ = 27

7³ = 7²◊7 = 7² 7 = 7 7

5⁷ = 5⁶◊5 = 5⁶ 5 = 5³ 5 = 125 5

2³◊3⁴◊5² = 2²◊2◊3⁴◊5² = 2²◊3⁴◊5² 2 = 2◊3²◊5◊ 2 = 90 2 a⁵ = a⁴◊a = a⁴ a = a² a

a³b⁴ = a²ab⁴ = a²b⁴ a = ab² a = ab² a 4)

( )

2 ⁵ ⁼²⁵ ⁼²⁴^◊²⁼²⁴ ²⁼²² ²⁼^{4 2}

Remarques

1) La propriété 1 est valable pour un nombre quelconque de facteurs : a₁ a₂L a_n = a₁a₂L a_n 2) Dans le cas particulier où a = 1, la propriété 2 devient : 1

b = 1

b

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3. Le calcul avec les expressions algébriques irrationnelles

Le calcul avec les expressions irrationnelles est basé sur les propriétés des nombres réels. On utilise par exemple l'associativité, la distributivité, les produits remarquables. Illustrons par quelques exemples les procédés de calcul avec des expressions irrationnelles :

Exemples

1) 3 2 + 4 2 = 7 2

2) 2 3 + 4 5 - 3 3 + 2 5 = 6 5 - 3 3) 3◊2 15 = 6 15

4) 2 5 = 10

5) 8 4 = 32 = 4 2 6) 2 3 5 = 2 15

7) 3 2◊5 2 = 3◊5◊

( )

2 ² ⁼¹⁵^◊²⁼³⁰

8) 3 2◊2 8 = 3◊2 2 8 = 6 16 = 6◊4 = 24 9)

( )

3 5 ² ⁼³²^◊

( )

⁵ ² ⁼⁹^◊⁵⁼⁴⁵

10)

(

2+ 3

)

⁵⁼^{2 5}⁺^{3 5}⁼^{2 5}⁺¹⁵

11)

(

3+ 2

)

^{2 2}⁼³^◊^{2 2}⁺²^◊^{2 2}⁼^{6 2}⁺^{2 4}⁼^{6 2}⁺²^◊²⁼^{6 2}⁺⁴

12)

(

8- 5

) (

²⁰^- ²

)

⁼¹⁶⁰^- ¹⁶^- ¹⁰⁰⁺ ¹⁰⁼¹⁶^◊¹⁰^-⁴^-¹⁰⁺ ¹⁰⁼

4 10 -14+ 10 = 5 10-14 autre méthode :

8- 5

( ) (

²⁰^- ²

)

⁼^{2 2}

(

^- ⁵

) (

^{2 5}^- ²

)

⁼^{4 10}^-⁴^-¹⁰⁺ ¹⁰⁼^{5 10}^-¹⁴

13)

(

5 2-4 3

) (

^{5 2}⁺^{4 3}

)

⁼^{5 2}

( )

²^-

( )

^{4 3} ² ⁼⁵²^◊

( )

² ²^-⁴²^◊

( )

³ ² ⁼

25 . 2 - 16 . 3 = 50 - 48 = 2

14)

(

2-5

) (

³^-^{2 5}

) (

²⁺⁵

)

⁼

(

²^-⁵

) (

²⁺⁵

) (

³^-^{2 5}

)

⁼⁽²^-²⁵⁾

(

³^-^{2 5}

)

⁼

-23

(

3-2 5

)

⁼ ^-^{23 3}⁺^{46 5}

15)

(

2+ 3- 8

)

² ⁼

(

² ⁺ ³^-^{2 2}

)

² ⁼

(

³^- ²

)

² ⁼³^-^{2 6}⁺²⁼⁵^-^{2 6}

Il y a des racin' qui s'vend' en bottes Le radis, l'navet ou la carotte

Mais la racine que j'adore Et qu'on extrait sans effort-eu La racin'carrée c'est ma préférée

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4. La rationalisation du dénominateur des fractions irrationnelles

Si le dénominateur d'une expression fractionnaire (numérique ou algébrique) est irrationnel, il est souvent avantageux de transformer cette fraction en une fraction équivalente dont le dénominateur est rationnel : on rationalise le dénominateur. Nous envisagerons deux cas :

1) Le dénominateur est un produit contenant un facteur irrationnel : on rationalise ce dénominateur en amplifiant la fraction par ce facteur irrationnel.

2) Le dénominateur est la somme de deux expressions, dont l'une au moins est irrationnelle. On utilise l'identité remarquable :

A+ B

( ) (

^A^- ^B

)

⁼

( )

^A ²^-

( )

^B ² ⁼^A^-^B

Les expressions A + B et A- B sont conjuguées. On rationalise le dénominateur en amplifiant la fraction par l'expression conjuguée du dénominateur.

Exemples

1) 2

5 = 2 5

5 5 = 2 5

5

2) 20

3 5 = 20 5

3 5 5 = 20 5

15 = 4 5

3

3) 3 2

5 = 3 2 5

5 5 = 3 10

5

4) 2+ 3

5 = ( 2+ 3) 5

5 5 = 10+ 15

5

5) 3y

2x y = 3y y

2x y y = 3y y

2xy = 3 y

2x

6) 4

3- 5 = 4 3

(

+ 5

)

3- 5

( ) (

³⁺ ⁵

)

⁼ ^{4 3}

(

⁺ ⁵

)

3²-

( )

5 ² ⁼

4 3

(

+ 5

)

9-5 = 4 3

(

+ 5

)

4 = 3+ 5

7) 3

7- 5 = 3

(

7+ 5

)

7- 5

( ) (

⁷⁺ ⁵

)

⁼

_{( )}

^{3 7}⁷ ²⁺^-^{3 5}

( )

⁵ ² ⁼^{3 7}⁷⁺^-^{3 5}⁵ ⁼ ^{3 7}⁺²^{3 5}

8) y

x+ y = y x

(

- y

)

x+ y

( ) (

^x^- ^y

)

⁼ ^x^{x y}²^-

( )

^-^y^y² ⁼ ^{x y}^x²^-^-^y^y

Remarque historique

La rationalisation d'un dénominateur était particulièrement importante avant l'apparition des calculatrices. Par exemple :

1

2 = 1

1, 414213º = … (difficile) 2

2 = 1, 414213º

2 = 0, 707106º (facile)

(5)

5. Racine n-ième d'un nombre réel

Définition 5.3 Soit x un nombre réel positif et n un nombre entier non nul. La racine n - ième du nombre réel x, notée xⁿ , est le nombre réel positif défini par :

y = xⁿ ¤ yⁿ = x

Le symbole ⁿ est le radical, l'entier n l'indice, x le radicande.

Remarques

1) On dit racine cubique au lieu de racine troisième.

2) Il découle de cette définition que pour tout nombre réel positif :

( )

ⁿ x ⁿ ⁼^xⁿ ⁿ ⁼^x

3) Le signe fut introduit en 1525 par Christoff Rudolff (déformation de la lettre r, initiale du mot racine).

Exemples

1) ⁴81=3 car 3⁴ =81

2) ⁵32 =2 car 2⁵=32

3) ⁿ0 =0 car 0ⁿ =0

4) ⁿ1=1 car 1ⁿ =1

5) 3+2 2 =1+ 2 car

(

1+ 2

)

² ⁼³⁺^{2 2}

6) ³26+15 3 =2+ 3 car

(

2+ 3

)

³⁼²⁶⁺^{15 3}

7) 1

8 1 2

3 = car 1

2 1 8 Ê 3

Ë ˆ

¯ =

8) 16

625 2 5

4 = car 2

5

16 625 Ê 4

Ë ˆ

¯ =

(6)

6. Extension de la définition

Une puissance d'un nombre réel est positive si l'exposant est un nombre entier pair. En conséquence, il n'est pas possible de définir la racine d'un nombre réel négatif pour un indice pair. Par contre, une puissance d'un nombre réel négatif est négative si l'exposant est un nombre entier impair. Cette observation justifie l'extension de la définition au cas d'un radicande négatif lorsque l'indice est un nombre entier impair :

Définition 5.4 Soit x un nombre réel négatif et n un nombre entier impair :

nx = - -ⁿ x Exemples

1) ³ -1= -³1= -1 3) ⁷-128= -⁷128= -2

2) ³ -125 = -³125= -5 4) ⁴-16 n'existe pas dans R Remarques

1) Il résulte des définitions les propriétés évidentes : xⁿ

n = x si n est pair ⁿxⁿ = x si n est impair

2) Soit l'équation xn = k avec k un nombre réel et n un nombre entier non nul. On distingue trois cas pour la résolution de cette équation :

k≥0 n pair S= ±

{

ⁿ k

}

k<0 n pair S=∆

n impair S=

{ }

ⁿk Exemples

1) ⁶5⁶ =5 6) x⁴ = -1 S=∆

2) ⁴(-3)⁴ = -3 =3 7) x⁵ = -32 S= -

{ }

²

3) ⁵7⁵ =7 8) x⁶ =17 S= ±

{

⁶17

}

4) ⁹(-4)⁹ = -4 9) x⁷= -19 S=

{

⁷-19

}

5) x⁴ =16 S= ±

{ }

² ^{10) x}⁸ ^{= -}⁸ ^S⁼^∆

(7)

7. Propriétés

Théorème 5.5 Soit a , b des nombres réels positifs et n , p , q des nombres entiers non nuls.

(1) ⁿa ⁿb = ⁿab

(2) ⁿa

nb = a

b

n b π 0 (3)

( )

ⁿa ^p ⁼^aⁿ ^p

(4) ⁿ ^pa = ^npa = ^pⁿa (5) ^nqa^pq = aⁿ ^p

(6) ⁿa ≥ bⁿ ¤ a≥b Exemples

1) 2 5= 10 75=5 3

42

48=⁴16 =2 ³16 =³8◊2 =³2³◊2=2 2³

2a³b⁴ =ab² 2a ³8a⁶b⁹ =2a²b³

16a⁴b⁵

3 =2ab 2ab³ ²

2) 1000

27

3 =³1000

327 =10 3

325

3 5 = 25 5

3 =³5

3)

( )

2 ³⁼ ²³ ⁼^{2 2}

( )

³ ⁵ ⁶⁼³ ⁵⁶ ⁼⁵²⁼²⁵

3 4

( )

²⁼³ ⁴² ⁼³¹⁶ ⁼^{2 2}³

4) ³³ 7 =⁹7 ⁴³3 =¹²3

5) ⁶5³ =²5¹ = 5 ¹²216 =¹²6³ =⁴6

2⁴ =2²=4 ⁵3¹⁰ =3²=9

425=⁴5² = 5 ⁶27=⁶3³ = 3

3a a =³ a²a =⁶a³ = a ⁴a²³a =⁴³a⁶a =¹²a⁷ 3³2 =⁶3³ ⁶2² =⁶3³◊2² =⁶108

a³

4 ³a² =¹²a⁹¹²a⁸ =¹²a⁹a⁸ =¹²a¹⁷ =a¹²a⁵ 6) 3 > 2 ¤ 3 > 2

(8)

Remarques

1) Les propriétés sont énoncées dans le cas de radicandes positifs. Toutefois, elles sont encore valables lorsque les radicandes sont négatifs, pour autant que les indices et les exposants satisfassent certaines conditions évidentes.

2) La propriété (1) est valable pour un nombre quelconque de facteurs : a₁a₂... a_k

n = aⁿ ₁ ⁿa₂ ... ⁿa_k 3) Dans le cas particulier où a = 1, la propriété (2) devient :

1 b

n = 1

nb

4) Cas particuliers de la propriété (6) : a ≥ 1 ¤ ⁿa ≥ 1 0 £ a £ 1 ¤ 0 £ aⁿ £ 1