AP1 : Un nombre réel pour exposant Feuille 1

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AP1 : Un nombre réel pour exposant Feuille 1

Situation : En janvier 2007, les parents de Dudule lui ont ouvert un compte bancaire qui lui rapporte des intérêts composés au taux incroyable de 10 % par an. En janvier 2016, il dispose de 1000 € sur ce compte.

Partie A : Modélisation à l'aide d'une suite

On décide de modéliser la situation à l'aide d'une suite (u_n) qui donne le montant disponible sur le compte à l’année 2016+n exprimée en milliers d’euros d'où u₀=1

1) Donner la nature de la suite (u_n) et exprimer u_n en fonction de n.

……….

2) Pour déterminer les termes de la suite (u_n), Dudule utilise sa calculatrice mais sans basculer sur le mode Suite mais en restant sur le mode fonction. Il saisit alors f(x)=…………...…. dans Y1.

Dans le paramétrage de la table de valeurs, il saisit : DébutTable = 0 et Pas = 1 a) Compléter le tableau de valeurs de la suite (u_n)

Expression u₀=f(0)=1,1⁰ u₁=f(1)=1,1¹ u₂=.... ...

Valeur de u_n 1

Interprétation Capital au

01/01/2016 Capital au

01/01/2020 Capital au 01/01/2025 b) Représenter graphiquement la suite (

u

_n) pour 0⩽n⩽9 dans le repère ci-dessous :

Partie B : Extension du modèle aux nombres réels

Puisque Dudule est resté en mode fonction, il décide de lire dans la table de valeurs les images de f(x) pour des valeurs de x réelles.

a) Compléter alors le tableau.

Expression f(0,5)=1,1^0,5 f(−2)=1,1⁻² 1,1^2,25

1,1

−3

4 ...

Résultat

Interprétation Capital au

…………... Capital au

……….... Capital au

…………... Capital au

01/10/2016 Capital initial 01/01/2007 b) Tracer la représentation graphique de f sur le graphique précédent.

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Partie C :

a) Rappel de collège : q désigne un nombre réel strictement positif et n et m des entiers relatifs :

q

⁻ⁿ⁼

1 q

ⁿ

q

ⁿ

×q

^m^=………

(q

ⁿ

)

^m = …………..…..…

Exprimer alors sous forme fractionnaire :

1,1

⁻² = ……..…

1,1

⁻⁴ = ……..….

Exprimer sous la forme d’une seule puissance : 1,1³×1,1⁵=… …… … . 1,1⁻³×1,1⁵=… ……… 1,1⁵

1,1⁷ =………. 1,1⁻¹

1,1⁴ =………. (1,1³)⁻¹= ………..

(

^1,1¹

)

⁻¹^{= …………..}

b) Mais ces propriétés sont-elles encore vraies si on remplace m et n par des nombres réels ? Pour répondre à cette question, utiliser votre calculatrice pour effectuer les calculs ci-dessous.

1,1^−3,5≈...

5,7^−0,75≈....

1

1,1^3,5≈.... 1

5,7^0,75≈....

Conjecture ?………..

1,1^2,7×1,1^1,3≈.... 5,7^0,8×5,7^−1,3≈....

1,1⁴=...

5,7^−0,5≈....

Conjecture ?………..

(

^5,7^0,8

)

^−1,3^≈...^. ^5,7^−1,04^≈...^. Conjecture ?………...

Partie D : Sens de variations

Retrouver la représentation graphique de chacune des fonctions suivantes : f(x)=0,3^x g(x)=5^x h(x)=0,95^x p(x)=1,2^x