1 Le développement décimal d’un nombre réel

Université Paris 7 – Denis Diderot Année 200/2008

Licence 2 MA 3

Compléments sur les séries

1 Le développement décimal d’un nombre réel

1.1 La fonction « partie entière »

Nous partons de la propriété suivante : pour tout réel a ∈ R il existe un unique entier relatif n ∈ Z tel que n ≤ a < n + 1. Une autre caractérisation de cet entier n est qu’il est le plus grand entier relatif contenu dans ] − ∞, a].

Définition — On appelle partie entière de a l’entier relatif noté E(a) et défini par

E(a) ≤ a < E(a) + 1. (1)

1.2 Le développement décimal d’un nombre réel

Soit a ∈ R , considérons la suite de nombres rationnels u _n = E(10 ⁿ · a)

10 ⁿ , pour n ∈ N . Par exemple, si a = π, on a :

u ₀ = 3 u ₁ = 3, 1 u ₂ = 3, 14 u ₃ = 3, 141

etc.

On voit sur l’exemple choisi que cette suite approche la valeur de a de façon de plus en plus fine par des nombres décimaux. Vérifions cela plus en détail en étudiant les propriétés de la suite (u _n ) _n∈ N .

1.2.1 u _n est croissante

En effet l’inégalité E(10 ⁿ · a) ≤ 10 ⁿ · a entraîne

10 · E(10 ⁿ · a) ≤ 10 ⁿ⁺¹ · a.

Mais comme le plus grand entier qui est plus petit ou égal à 10 ⁿ⁺¹ · a est E(10 ⁿ⁺¹ · a), on en déduit que

10 · E(10 ⁿ · a) ≤ E(10 ⁿ⁺¹ · a).

Divisant par 10 ⁿ⁺¹ , on obtient E(10 ⁿ · a)

10 ⁿ ≤ E(10 ⁿ⁺¹ · a)

10 ⁿ⁺¹ ⇐⇒ u _n ≤ u _n+1 . (2)

1.2.2 u _n fournit un encadrement de a de plus en plus fin

En effet, toujours à cause de (1), on a E(10 ⁿ · a) ≤ 10 ⁿ · a < E(10 ⁿ · a) + 1 et donc, en divisant par 10 ⁿ ,

u n ≤ a < u n + 1

10 ⁿ . (3)

On voit au passage que la suite (u n ) _n∈ N est majorée par a et donc, comme elle est croissante, elle converge vers une limite ℓ ∈ R . En passant à la limite dans (3), on obtient

ℓ ≤ a ≤ ℓ = ⇒ lim

n→∞ u _n = ℓ = a.

Mais on a mieux : en utilisant encore (1) (une fois pour 10 ⁿ⁺¹ · a, une fois pour 10 ⁿ · a), on a E(10 ⁿ⁺¹ · a) ≤ 10 ⁿ⁺¹ · a = 10 · (10 ⁿ · a) < 10 · (E(10 ⁿ · a) + 1) = 10 · E(10 ⁿ · a) + 10.

Mais comme les valeurs aux deux extrémités dans cette suite de relations sont des entiers, cela signifie que E(10 ⁿ⁺¹ · a) ≤ 10 · E(10 ⁿ · a) + 9. Donc en divisant par 10 ⁿ⁺¹ ,

u _n+1 ≤ u n + 9

10 ⁿ⁺¹ . (4)

1.2.3 Une série associée à a Posons a ₀ = u ₀ = E(a) et

a _n = u _n − u _n−1 , ∀n ≥ 1.

On voit que a ₀ peut être a priori un entier relatif quelconque, et que a _n = ^E(10

ⁿ

·a)−10·E(10

ⁿ⁻¹

·a)

10

ⁿ

=

d

n

10

ⁿ

, où d _n est a priori un entier relatif. Mais les inégalités (2) et (4) entraînent 0 ≤ a _n ≤ 9

10 ⁿ , ∀n ≥ 1 ⇐⇒ d _n ∈ [[0, 9]], ∀n ≥ 1.

Donc, à partir du rang n = 1, la suite (a n ) _n∈ N est une suite positive et majorée par la suite

9 10

ⁿ

n∈ N .

A présent considérons la série de terme général a _n : cela consiste à associer à la suite (a n ) _n∈ N la suite (s _n ) _n∈ N des sommes partielles

s n = a ₀ + a ₁ + · · · + a n =

n

X

j=0

a j .

Les théorèmes du cours ¹ nous garantissent que cette série est convergente, c’est à dire que la suite des sommes partielles s _n converge (en utilisant notament le fait que la série géométrique de raison ₁₀ ¹ est convergente, ce qui entraîne que la série 9 · P ₁

10

ⁿ

est convergente). En fait, il est immédiat que

s n = a ₀ +

n

X

j=1

u j − u _j−1 = u n

et donc que la limite de s n est

∞

X

j=0

a j = lim

n→∞ u n = a.

1

Exercice : lesquels ?

Nous en déduisons l’écriture a =

∞

X

n=0

a _n = a ₀ +

∞

X

n=1

d n

10 ⁿ = a ₀ + d ₁ 10 + d ₂

10 ² + d ₃ 10 ³ + · · · notée dans la vie courante sous la forme du développement décimal

a = a ₀ , d ₁ d ₂ d ₃ · · · .

Exercice pour réfléchir : montrer que le cas où ∃n 0 ∈ N tel que ∀n > n 0 , d _n = 9 ne se produit jamais (indication : montrer que si cela était vrai alors a = a ₀ +

P n

0

−1 j=1

d

j

10

^j

+ ^d ₁₀

ⁿ⁰n0

⁺¹ ).

2 Produit de deux séries absolument convergentes

Théorème — Soit (a n ) _n∈ N et (b n ) _n∈ N deux suites à valeurs dans C et soit (c n ) _n∈ N la suite de terme général

c _n = a ₀ b _n + a ₁ b _n−1 + · · · + a _n−1 b ₁ + a _n b ₀ = X

p+q=n

a _p b _q , ∀ n ∈ N .

Supposons que les séries de terme général a _n et b _n sont absolument convergentes, alors la série de terme général c _n est aussi absolument convergente et, de plus

∞

X

n=0

c _n =

∞

X

n=0

a _n

! _∞ X

n=0

b _n

!

. (5)

Preuve — Nous poserons A = P ∞

n=0 |a n | et B = P ∞

n=0 |b n | et nous considérons les sous-ensembles suivants de N × N : pour tout N ∈ N ,

– ∆ N = {(p, q) ∈ N ² | p + q ≤ N } – Q N = [[1, N ]] ²

– T _N = {(p, q) ∈ N ² | p > N, p + q ≤ 2N } – T _N ^′ = {(p, q) ∈ N ² | q > N, p + q ≤ 2N }

q

p 0

N 2N

N 2N

∆ N

Q N

T N T’N

a) Montrons d’abord que la série P ∞

n=0 c _n est absolument convergente. Pour tout N ∈ N ,

N

X

n=0

|c n | =

N

X

n=0

| X

p+q=n

a _p b _q |

≤

N

X

n=0

X

p+q=n

| a _p || b _q |

= X

(p,q)∈∆

N

|a p ||b q |

≤ X

(p,q)∈Q

N

|a p ||b q |

=





N

X

p=0

|a p |









N

X

q=0

|b q |



 ≤ AB.

Et comme |c n | ≥ 0 cela prouve que la série P ∞

n=0 |c n | converge, c’est à dire que la série P ∞ n=0 c _n est absolument convergente.

b) Etablissons à présent la relation (5). Noter qu’il s’agit de montrer qu’une certaine limite ( P ∞

n=0 c _n ) est égale à un produit de deux limites. Pour cela, nous choisissons N ∈ N et évaluons

|

2N

X

n=0

c n −





N

X

p=0

a p









N

X

q=0

b q



 | = | X

(p,q)∈∆

2N

a p b q − X

(p,q)∈Q

N

a p b q |

= | X

(p,q)∈T

N

a _p b _q + X

(p,q)∈T

_N^′

a _p b _q |

≤ X

(p,q)∈T

N

|a p ||b q | + X

(p,q)∈T

_N^′

|a p ||b q |

≤





2N

X

p=N+1

|a p |









N

X

q=1

|b q |



 +





N

X

p=1

|a p |









2N

X

q=N +1

|b q |





≤





∞

X

p=N+1

|a p |



 B + A





∞

X

q=N+1

|b q |



 .

Or la dernière quantité tend vers 0 lorsque N → +∞. On en déduit que

N→+∞ lim

2N

X

n=0

c n = lim

N→+∞





N

X

p=0

a p









N

X

q=0

b q



 =



 lim

N→+∞

N

X

p=0

a p







 lim

N→+∞

N

X

q=0

b q



 .

Noter que, puisque lim _N→+∞ c _2N+1 = 0 (exercice : le démontrer), on a aussitôt lim _N→+∞ P _2N+1

n=0 c _n = lim _N→+∞ P 2N

n=0 c _n . On en déduit (5).

Exemple : si a n = ^α _n!

ⁿ

et b n = ^β _n!

ⁿ

, où α, β ∈ C , alors les séries P ∞ n=0 α

ⁿ

n! et P ∞ n=0

β

ⁿ

n! sont absolument convergentes pour toutes les valeurs de α et β. De plus on calcule que c n = ^(α+β) _n!

ⁿ

. On en déduit que, si on pose

f (x) =

∞

X

n=0

x ⁿ n! , alors f (α)f (β) = f (α + β), ∀(α, β) ∈ C ² .

3 Un résultat hors programme : le théorème de resommation de Riemann

Ce résultat dit que, si une série est absolument convergente, alors l’ordre dans lequel on somme ne change pas le résultat.

Théorème — Soit (u n ) _n∈ N une suite à valeurs dans C . Supposons que la série P ∞

n=0 u _n soit ab- solument convergente, i.e. P ∞

n=0 | u _n | < +∞ , alors, pour toute bijection φ : N −→ N , P ∞ n=0 u _φ(n) est absolument convergente et

N→∞ lim

N

X

n=0

u _φ(n) =

∞

X

n=0

u n . (6)

Preuve — Observons d’abord que, en posant m = φ(n), on a

N

X

n=0

|u _φ(n) | ≤

sup φ([[0,N]])

X

m=0

|u m | ≤

∞

X

m=0

|u m | < ∞,

ce qui entraîne le fait que P ∞

n=0 u _φ(n) est absolument convergente. Prouvons maintenant (6) : fixons ε > 0 et choisissons M ∈ N tel que P ∞

m=M +1 |u m | < ε. Alors, comme φ est une bijection il existe N ∈ N tel que [[0, M ]] ⊂ φ([[0, N ]]) (il suffit de prendre pour N le suprémum de l’ensemble fini φ ⁻¹ ([[0, M ]])) et donc à partir de la décomposition

N

X

n=0

u _φ(n) =

M

X

m=0

u _m + X

0≤n≤N; φ(n)≥M +1

u _φ(n) ,

on obtient

|

∞

X

m=0

u m −

N

X

n=0

u _φ(n) | = |

∞

X

m=M +1

u m − X

0≤n≤N; φ(n)≥M+1

u _φ(n) |

= | X

M +1≤m; m6∈φ([[0,N]])

u _m | ≤

∞

X

m=M +1

|u m | < ε,

ce qui prouve bien (6).

Notons que, dans ce résultat, l’hypothèse que la série est absolument convergente est vraiment capitale. Le résultat suivant, assez spectaculaire mais plus difficile, prouve en effet que l’addition des termes dans les séries convergentes mais non absolument convergentes n’est pas commutative !

4 Un résultat hors programme et difficile

Théorème — Soit (u n ) _n∈ N

∗

une suite à valeurs dans R . On suppose que la série P ∞ n=1 u n

est convergente mais non absolument convergente. Alors, pour n’importe quelle valeur λ ∈ R , il existe une bijection φ : N ^∗ −→ N ^∗ telle que la série P ∞

n=1 u _φ(n) soit convergente et telle

que ∞

X

n=1

u _φ(n) = λ.

Remarque : on a choisi une suite définie sur N ^∗ = N \ {0} pour alléger les notations dans la suite.

Preuve — Soit u ⁺ _n = sup(0, u n ) et u ⁻ _n = − inf(0, u n ) de sorte que ∀n ∈ N ^∗ , u n = u ⁺ _n − u ⁻ _n , |u n | = u ⁺ _n + u ⁻ _n et u ⁺ _n ≥ 0, u ⁻ _n ≥ 0. Commençons par remarquer que les séries P _∞

n=1 u ⁺ _n et P _∞

n=1 u ⁻ _n divergent toutes les deux, puisque si par exemple P ∞

n=1 u ⁺ _n convergeait, alors P ∞

n=1 |u n | = 2 P ∞

n=1 u ⁺ _n − P ∞

n=1 u _n convergerait, ce qui est contradictoire (même raisonnement pour P ∞ n=1 u ⁻ _n ).

L’idée est alors que l’on dispose d’« un réservoir infini de termes positifs » ( P

u ⁺ _n ) et d’« un réservoir infini de termes négatifs » ( P

u ⁻ _n ) et que l’on peut piocher alternativement dans un des réservoirs. Voyons la mise en oeuvre de cette idée, qui est un peu délicate à écrire.

Soit A = { n ∈ N ^∗ | u _n ≥ 0} et B = { n ∈ N ^∗ | u _n < 0}. On a A ∩ B = ∅ et A ∪ B = N ^∗ et de plus ces deux ensembles sont infinis dénombrables (à cause de P

n∈A u n = P ∞

n=1 u ⁺ _n = +∞

et P

n∈B u _n = − P ∞

n=1 u ⁻ _n = −∞). Soit α : N ^∗ −→ A et β : N ^∗ −→ B les uniques bijections monotones croissantes entre les ensembles considérés. Supposons pour fixer les idées que λ > 0.

On considère

p ₁ = inf {p ∈ N ^∗ |

p

X

i=1

u _α(i) > λ}.

Cette valeur est finie puisque P ∞

i=1 u _α(i) = P ∞

n=1 u ⁺ _n = +∞. On pose alors

φ(i) = α(i), ∀i ∈ [[1, p ₁ ]].

Puis on considère

q ₁ = inf {q ∈ N ^∗ |

p

1

X

i=1

u _α(i) +

q

X

j=1

u _β(j) < λ}

et on pose

φ(p ₁ + j) = β(i), ∀j ∈ [[1, q ₁ ]].

On continue : on pose

p ₂ = inf{p ∈ N ^∗ |

p

1

X

i=1

u _α(i) +

q

1

X

j=1

u _β(j) +

p

X

i=1

u _α(p

1

+i) > λ}

et

φ(p ₁ + q ₁ + i) = α(p ₁ + i), ∀i ∈ [[1, p ₂ ]], etc.

Comme P ∞

n=1 u ⁺ _n = +∞ et P ∞

n=1 u ⁻ _n = +∞, on voit qu’il est possible de continuer cette construc- tion indéfiniment et que l’application φ ainsi construite est une bijection de N ^∗ vers A ∪ B = N ^∗ . Pour une valeur de N ∈ N ^∗ de la forme N = p ₁ + q ₁ + · · · + p s + q, où q ∈ [[1, q s ]] alors

N

X

n=1

u _φ(n) =

p

1

X

i=1

u _α(i) +

q

1

X

j=1

u _β(j) + · · · +

p

s

X

i=1

u _α(p

₁

_+···+p

_s−1

_+i) +

q

X

j=1

u _β(q

₁

_+···+q

_s−1

_+j) .

Pour une valeur de N ∈ N ^∗ de la forme N = p ₁ + q ₁ + · · · + p _s + q _s + p, où p ∈ [[1, p _s+1 ]] alors

N

X

n=1

u _φ(n) =

p

1

X

i=1

u _α(i) +

q

1

X

j=1

u _β(j) +· · ·+

p

s

X

i=1

u _α(p

1

+···+p

s−1

+i) +

q

s

X

j=1

u _β(q

1

+···+q

s−1

+j) +

p

X

i=1

u _α(p

1

+···+p

s

+i) .

Il reste à prouver la convergence de P N

n=1 u _φ(n) vers λ. Supposons par exemple que N = p ₁ + q ₁ + · · · + p s + q s + p, où p ∈ [[0, p _s+1 − 1]]. Alors

N

X

n=1

u _φ(n) =

p

1

+q

¹

+···+q

s

X

n=1

u _φ(n) + R _N ≤ λ, (7)

où R N = 0 si p = 0 et R N = P p

i=1 u _α(p

1

+···+p

s

+i) si 1 ≤ p ≤ p _s+1 − 1. L’inégalité dans (7) provient de la définition de p _s+1 . On en déduit, en utilisant notament le fait que R N ≥ 0, que

|λ −

N

X

n=0

u _φ(n) | = λ −

N

X

n=0

u _φ(n) = λ −

p

1

+q

1

+···+q

s

X

n=1

u _φ(n) − R _N ≤ λ −

p

1

+q

1

+···+q

s

X

n=1

u _φ(n) .

Et en utilisant cette fois-ci la définition de q _s (qui entraîne P p

1

+q

¹

+···+q

s

−1

n=1 u _φ(n) ≥ λ) on obtient :

|λ−

N

X

n=0

u _φ(n) | ≤ λ −

p

1

+q

1

+···+q

s

−1

X

n=1

u _φ(n)

!

−u _φ(p

1

+q

1

+···+q

s

) ≤ −u _φ(p

1

+q

1

+···+q

s

) = |u _φ(p

1

+q

1

+···+q

s

) |.

On a une majoration du même type si N = p ₁ + q ₁ + · · · + p s + q, où q ∈ [[0, q s − 1]]. On voit donc que pour conclure il suffit de montrer que lim _n→∞ u _φ(n) = 0. Cela est une conséquence du fait que lim n→∞ u _n = 0 (puisque la série P ∞

n=1 u _n converge) :

∀ε > 0, ∃N ∈ N ^∗ , tel que ∀n ≥ N, |u n | < ε,

et du fait que φ est une bijection : en choisissant n ≥ sup φ ⁻¹ ([[1, N ]]), on a alors φ(n) ≥ N , ce

qui entraîne que |u _φ(n) | < ε.