AP1 : Exercices Mise en application feuille n°2 :
Objectif : Modéliser une situation avec une fonction exponentielle Exercice 1 :
Déterminer la fonction f , définie sur ℝ par f(x)=kqx, sachant de plus que f(0)=−3 et f(−1)=−10 .
Exercice 2 :
A la suite d'une infection, on modélise le nombre de bactéries contenues dans un organisme, en fonction du temps x, exprimé en heure, à partir du début de l'étude par la fonction f définie par f(x)=100 000×1,1x avec x compris entre 0 et 3.
1) Calculer le nombre de bactéries au bout de 1h30 puis de 2h45. Arrondir à 1000 bactéries près.
2) Quel est le sens de variation de f ?
3) En utilisant la calculatrice, dire au bout de combien de temps le nombre de bactéries a augmenté d'au moins 5 %, puis de plus de 20 %. Arrondir à 5 minutes près, c'est-à-dire 1
12 h près.
4) Déterminer le taux d'évolution de cette population de bactéries pour une heure puis pour un quart d'heure.
Exercice 3 : Modéliser chaque évolution par une fonction f de la forme f(x)=k×qx. Préciser k et q.
1) Un jardin est envahi de mousse. Initialement de 3 m², la surface occupée par la mousse augmente de 8 % chaque mois.
2) On injecte à un patient 2 mL d'un médicament. Son organisme en assimile 30 % toutes les heures.
3) On place 10 000 € sur un compte avec un taux d'intérêts annuel de 2 %.
Exercice 4 :
Une entreprise récolte et conditionne des fruits exotiques. On estime que la quantité demandée Q, en tonne, en fonction du prix unitaire p en € par kg est modélisée par la fonction f : Q=f(p)=7,4×0,6p où p [1∈ ; 4].
1) Étudier le sens de variation de f sur [1 ; 4]. Interpréter le résultat.
2) L'entreprise a 2 tonnes de fruits à vendre.
a) Montrer que l'équation f(p)=2 admet une unique solutionαsur [1 ; 4].
b) Donner, en utilisant la calculatrice, la valeur approchée par défaut de αà 0,01 près.
c) En déduire le prix maximum d'un kilo de fruits permettant d'écouler totalement la production.
Exercice 5 :
Un éditeur réalise une étude de marché sur la publication de livres pour enfant, dont le prix est compris entre 10 et 30 €. On estime que, lorsque le prix du livre est x €, l'offre f(x)et la demandeg(x), en millier de livres sont données parf(x)=1,05x et g(x)= 7
1,05x
1) Étudier le sens de variation des fonctions f et g sur [10 ; 30]. Interpréter.
2) On admet que l'équation f(x)=g(x) a une unique solutionα sur [10 ; 30].
Quel est le prix d'équilibre ? Quelle est alors la quantité de livres offerte et demandée, à 10 livres près ?
Exercice 6 : prise d’initiative
Une machine donc le prix d'achat est de 10 000 € perd chaque année 10 % de sa valeur de l'année précédente.
Au bout de temps ne vaudra-t-elle plus que la moitié de sa valeur initiale ?
