S7 - Fonc/usuelles 2
La fonction exponentielle
TaleES1 Étude de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle f est définie sur
Rpar f (x) = e
x. Définition 1.
on note aussix7→exp(x) Remarque.
Rappels :
• e
1= e ≈ 2, 718 ;
• e
xest toujours positif strictement sur
R: e
x> 0 ;
• la fonction exponentielle transforme les produits en somme : e
x+y= e
x× e
y.
La fonction exponentielle est continue et dérivable sur
Rde dérivée (e
x)
′= e
x. Elle est strictement croissante sur
R.
Propriété 2.
la dérivée est strictement positive, donc la fonction est strictement croissante
.
1 2 3 4
−1
1 2 3
−1
−2
−3
−4
−5
y=xe
b
b
e≈2,718
x −∞ 0 + ∞
f
′(x) +
f
2 Résolution d’inéquations
en particulier, eu>1⇐⇒u>0
Remarque.
On considère les réels u et v, alors : e
u >e
v⇐⇒ u
>v.
Propriété 3.
en raison de la stricte croissance de la fonction, la propriété est valable pour les signes>,6et <
Remarque.
Exemple 4
• e2x−8<e3x+2⇐⇒2x−8<3x+ 2⇐⇒ −x <10⇐⇒x >10 ;
• e3x−9>1⇐⇒3x−9>0⇐⇒x>3.
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