spé Exercices sur la fonction exponentielle (1)

T

spé Exercices sur la fonction exponentielle (1)

On pensera à vérifier les résultats avec l’application « photomath » sur téléphone portable ou sur le site dcode.

1 Simplifier les expressions suivantes :

0 2

A e e ;B e e^1 ;C e⁵ e² ;

5 2

3

D e e e



   ;^{E e3}



^e4e2



^;F

 

^{e4 3 ;G e10 ; .}

3 2 4

He^x e ;

5 8

I e e^x

 .

Dans les deux dernières expressions,x est un réel quelconque.

2 Développer et simplifier les expressions suivantes :

  

A e^x1 e^x3 ;^B



^{ex1 2 e}



^{ x}



^;C



^ex3



^{2 ;D}



^exex

 

^{2 exex}



^2.

3 Factoriser les expressions suivantes :

A3 ex ^x5e2^x Be^2x2e^x1 Ce^6x25 4 Résoudre dans les équations suivantes :

e^x1

 

^{1 ; e4x1}¹

 

^{2 ; ex 2}

 

^{3 ; ex}⁰

 

^{4 ;e2x}^3ex ^{4 0}

 

^{5 .}

5 Résoudre dans les inéquations suivantes :

3 4 2

e^{ x} e^x

 

^{1 ; ex0}

 

^{2 ;e5x0}

 

^{3 ; exe}

 

^{4 .}

6 Calculer la dérivée de la fonctionf définie sur.

a. f :x3 2e ^x b. f :x e 5

x

c. f :x3 ex ^x (factoriser le résultat) d. f :x e 1

e 3

x x



 e. f :x 4e^x1 f. f :x 4

3e^x 1



7 On considère la fonctionf :x



^{2x1 e}



^x et l’on note

C

sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère



^{O, , i j}



^.

1°) Calculer ^f'

 

^x (donner le résultat sous forme factorisée).

2°) Faire le tableau de variations.

On admettra que ^{f x}

 

   et que_{x  } ^{f x}

 

_{x  } ⁰.

3°) Tracer

C

en prenant



^{O, ,i j }



orthogonal, 2 cm ou 2 « gros » carreaux pour unité sur l’axe des abscisses et 1 cm ou 1 « gros » carreau pour unité sur l’axe des ordonnées.

4°) Tracer la tangenteT à

C

au point A d’abscisse 0.

8 On considère la fonctionf :x e

e 1

x

x définie sur et l’on note

C

sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère



^{O, , i j}



^.

1°) Calculer ^f'

 

^{x .}

2°) Faire le tableau de variations def.

On admettra que ^{f x}

 

_x   ¹ et que ^{f x}

 

_x   ⁰.

3°) Tracer

C

en prenant



^{O, , i j}



orthogonal, 1 cm ou 1 « gros » carreau pour unité sur l’axe des abscisses et 4 cm ou 4 « gros » carreaux pour unité sur l’axe des ordonnées.

Préciser et tracer les asymptotes sur le graphique.

4°) Tracer la tangenteT à

C

au point A d’abscisse 0.

5°) Démontrer que

C

admet le point A pour centre de symétrie.

9 Démontrer que, pour tout réelx, on a : e^x1x en étudiant les variations de la fonction f :xe^x 1 x.

10 Dans chaque cas, calculer la dérivée de la fonctionf.

a.f :x3e^2x b.f :xe^{1 3x} c.f :x5e^x2 d.f :x



^{x1 e}



^x (factoriser le résultat) e.f :x 4

e^x2e^x f.f :xx^{2 2}e ^x (factoriser le résultat) g.f :x1 5e²

x

 h.f :x e^2x x i.f :x



3x



e^x (factoriser le résultat) j.f :x



^e2x1



⁵ k.f :x

2

3 e^x4 11 Faire le tableau de signes des expressions suivantes.

A 1 e  ^x ;Be^4x11 ; Ce^xe^x ;De^2xe^x1.

Indication : Pour déterminer le signe des expressions suivant les valeurs dex, résoudre une équation et deux inéquations à présenter dans trois colonnes côte à côte (pour A : A0

 

^{1 ;A0}

 

^{2 ;A0}

 

^{3 ).}

12 Résoudre dans les équations suivantes :

e^x3

 

^{1 ;e2x12}

 

^{2 ;ex1 e 1}

 

^{3 ;e2x e 1}

 

^{4 ;ex1ex11}

 

^{5 ; ex4}

 

^{6 .}

On donnera les valeurs exactes.

Vérifier avec le site dcode.

13 Simplifier sans utiliser la calculatrice les expressions suivantes :

2 ln 3 ln 3

A4e e^ ;Be^{3 ln 2 1} ;_Ce^ln



^{2 1}



14 Vérifier que la fonction F :x3 



x 1 e



^x est une primitive de la fonctionf :x xe^x. 15 Vérifier que la fonctionf :x2e^3x1 est une solution de l’équation différentielle y' 3 y3

 

^{E .}

16 À l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur arrondie au millième des expressions suivantes :

 

²

2 3

2

e e

A e

 

 et ₂

 

^{3 2}

2

e 1

B e

e

 

  .

Axe et centre de symétrie d’une courbe représentative de fonction

Soitf une fonction définie sur.

On note

C

sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère.



Propriété 1 [centre de symétrie]

C

admet le point A



^{a b;}



pour centre de symétrie lorsque h  ^{f a}



^h



^{f a}



^h



^2b (cf. coordonnées d’un milieu).

Cas particulier : 0 a b

Le point A est alors l’origine du repère.

C

admet l’origine du repère pour centre de symétrie lorsque h  f

 

h  f h

 

.

Une fonction qui vérifie cette propriété est appelée une fonction impaire. C’est le cas de la fonction de la fonction

« cube » et plus généralement de toutes les fonctions puissances d’exposant entier naturel impair.



Propriété 2 [axe de symétrie]

Lorsque le repère est orthogonal

C

admet la droite d’équationxa pour axe de symétrie dans un repère orthogonal lorsque h ^{f a}



^h



^{ f a}



^h



^.

Cas particulier : 0

a

C

admet l’axe des ordonnées pour axe de symétrie lorsque h  ^f

 

^{h f h}

 

^.

Une fonction qui vérifie cette propriété est appelée une fonction paire. C’est le cas de la fonction « carré » et plus généralement de toutes les fonctions puissances d’exposant entier naturel pair.

Remarque :

Lorsque le domaine de définition

D

^{n’est pas}, il faut regarder qu’il soit centré en 0.

La condition est alors « Pour tout a h

D

^».

C’est le cas de la fonction « inverse » définie sur^* et qui est impaire.

Asymptotes horizontales et verticales

Le mot « asymptote » contient est formée de la racine grecque « symp » et du préfixe privatif « a ».

Le mot grec ancien correspondant est ἀσύμπτωτος, asúmptôtos (« qui ne s’affaisse pas », « qui ne s’écroule pas »,

« qui ne coïncide pas »).

Attention, contrairement à l’idée que pourrait induire l’étymologie, une courbe peut couper une asymptote en un ou plusieurs points voire une infinité de points.

Les asymptotes n’ont aucun rapport avec les tangentes.



Asymptote horizontale

On suppose que ^{f x}

 

_{x  } l avecl (limite finie).

Dans ce cas,

C

admet la droite d’équation yl pour asymptote horizontale en + ∞.

Idem si ^{f x}

 

_x   l avecl^. Exemples :

La courbe de la fonction « inverse » (hyperbole) admet l’axe des abscisses pour asymptote horizontale en +∞ et en – ∞.

La courbe de la fonction exponentielle admet l’axe des abscisses pour asymptote horizontale en – ∞ mais pas d’asymptote horizontale en + ∞ (ni d’asymptote tout court).

D’autres images mentales peuvent être données avec l’exemple d’ondes avec amortissement (amplitude qui diminue). Dans ce cas, la courbe coupe une infinité de fois l’axe des abscisses.

On peut aussi penser dans un autre registre aux points qui représentent une suite géométrique dont la raison est comprise entre – 1 et 0.



Asymptote verticale

On suppose que ^{f x}

 

_xa   ou ^{f x}

 

_xa  .

Dans ce cas,

C

admet la droite d’équation xa pour asymptote verticale.

Le résultat reste valable si l’on remplace xa parxa^ (x tend versa par valeurs supérieures) ou xa^ (x tend versa par valeurs inférieures).

Exemple :

La courbe représentative de la fonction « inverse » (hyperbole) admet l’axe des ordonnées pour asymptote verticale.

Commentaires généraux :

Sur un graphique, tracer les asymptotes.

Il est parfois difficile de visualiser des asymptotes verticales sur calculatrice à cause du nombre de pixels limités.

On peut avoir l’impression que la courbe part d’un point alors qu’elle plonge au niveau de l’asymptote. C’est le cas de la courbe de la fonction inverse.

Les asymptotes concernent les branches infinies des courbes.

Par exemple, si une courbe admet une asymptote horizontale au voisinage de + ∞, on dit que cela concerne la partie de la courbe au voisinage de + ∞.

Tracé des courbes à la main

 obtention d’un tableau de valeurs sur calculatrice pour placer les points (valeurs approchées la plupart du temps)

 tracé des tangentes importantes éventuelles (horizontales et verticales)

 tracé des asymptotes éventuelles

 soigner le tracé des branches infinies

 tracé au critérium, si possible en une seule fois, en respectant les variations

 comparaison avec la calculatrice

On trace toujours les tangentes horizontales.

Conventionnellement, les tangentes peuvent être tracées sous forme de doubles flèches.

Corrigé

1

0 2

A e e Ae2

B e e^1

B1

5 2

C e e Ce7

5 2

3

D e e e



  

De6

 

3 4 2

E e e e^ Ee4e

 

^{4 3}

F e^ Fe^12

G e10 10

Ge2

Ge5

3 2 4

He^x e

3 2

Ae^x

5 8

I e e^x

 Ie5 8^x

Pour G, on utilise la formuleG e e²

a

 a  .

Une autre méthode pour G consiste à écrire ^G

 

^{e5 2} (la méthode est cependant un peu moins bien).

G e10

 

^{5 2}

G e G e5

Ge5

Pour I, on peut aussi écrire :

8 5

I 1 e^x

 .

2 ^A



^{ex1 e}



^x3



A e0 3e^xe^x3 A3e^xe^x2

  

B e^x1 2 e ^x

2e 1 2 e

B ^x   ^x B2e^xe^x1

 

²

C e^x3 e2 6e 9 C ^x ^x

On s’arrête là. On ne peut pas aller plus loin.

Pour A et B, on pourrait avoir l’idée d’écrire 1

e e

x x

  .

L’idée n’est pas cependant pas très habile. Il vaut mieux ne pas modifier l’écriture de e^x.

Pour le calcul de D, il y a deux méthodes.

1^ère méthode :

On utilise les identités remarquables



^{a b}



² et



^{a b}



² pour développer les deux carrés.

  

²



²

D e^xe^x e^xe^x

 

2 2 2 2

e e 2e e e

D ^x ^{ x} ^{x x} ^xe^{ x}2e e^{x x}



^{e2 e2 2e0}

 

^{e2 e 2 2 0}



D ^x ^{ x}  ^x ^{ x} e



^{e2 e2 2}

 

^{e2 2 2}



D ^x ^{ x}  ^xe^{ x}

2 2 2 2

e e 2 e 2

D ^x ^{ x}  ^xe^{ x} De2^x e^2x  2 e^2x e^2x 2 D4

2^e méthode :

On utilise l’identité remarquablea²b² pour factoriser.

  

²



²

D e^xe^x e^xe^x



^{e e}

 

^{e e}

    

D ^x ^x  ^x ^x    e^xe^x  e^xe^x  D2e^x2e^x

D4e^{x x} D4e0

D4 3

A3 ex ^x5e2^x

 

e 5e

A ^x 3x ^x

Be2^x2e^x1

 

²

B e^x1

Ce6^x25

 

^{e3 2 52}

C ^x 



^{e3 5 e}



^{3 5}



C ^x ^x

4

Résoudre dans les équations suivantes :

e^x1

 

^{1 ;}e^4x11

 

^{2 ; ex} ²

 

3 ; e^x0

 

^{4 ;}e^2x3e^x 4 0

 

^{5 .}

 

¹ Ûe^xe⁰

 

^{1 Û} ^{x 0}

 

¹ Ûx0

Soit S₁ l’ensemble des solutions de

 

^{1 .}

1

 

0 S 

 

^{2 Û}e^4x1e⁰

 

² Û4x 1 0

 

² Û 1 x4

Soit S₂ l’ensemble des solutions de

 

^{2 .}

2

1 S    4

 

 

3 n’est vérifié par aucun réelx.

Soit S₃ l’ensemble des solutions de

 

^{3 .}

S3 

 

4 n’est vérifié par aucun réelx.

Soit S₄ l’ensemble des solutions de

 

^{4 .}

S4 

Pour résoudre l’équation

 

5 , on observe d’abord qu’elle est équivalente àe^2x3e^x 4 0 puis on utilise le changement d’inconnue Xe^x.

 

5 s’écrit alorsX²3X 4 0

 

^{5 ' .}

 

5 ' est une équation du second degré d’inconnue X.

 

^{5 '} ÛX1 ou X 4 (par racine évidente ou factorisation mentale ou calculatrice)

Or Xe^x.

On reprend la résolution de

 

^{5 .}

 

^{5 Ûex}¹ ou e^x 4 (impossible)

 

⁵ Û x0

Soit S₅ l’ensemble des solutions de

 

^{5 .}

5

 

0 S  5

Résoudre dans les inéquations suivantes : e^3x4e^x2

 

1 ; e^x0

 

^{2 ;e5x}⁰

 

3 ; e^xe

 

^{4 .}

 

¹ Û3x  4 x 2

 

1 Û 1 x2

Soit S₁ l’ensemble des solutions de

 

^{1 .}

1

1; S 2  

 

2 est vérifiée pour tout réelx.

Soit S₂ l’ensemble des solutions de

 

^{2 .}

S2

 

3 n’est vérifié par aucun réelx.

Soit S₃ l’ensemble des solutions de

 

^{3 .}

S3 

 

^{4 Û} x 1

 

4 Ûx 1

Soit S₄ l’ensemble des solutions de

 

^{4 .}

 

4 ; 1

S     6

On ne justifie pas la dérivée qui est à peu près évidente dans tous les cas.

a. f :x3 2e ^x

 x  ^f'

 

^{x  2ex}

b. f :xe 5

x

réécriture indispensable

 

¹ e 5

f x   x permet d’utiliser la formule

 

^{ku 'ku'} mieux que d’utiliser la formule

2

' '

u ' u v uv

v v

   

  

 x  ^'

 

^e

5

x

f x 

On constate que f'f (la dérivée de la fonctionf est égale à elle-même).

c. f :x3 ex ^x

Mentalement, on effectue la réécriture : ^{f x}

 

^{ 3}

 

^xex . On applique deux formules en même temps.

 x  ^f'

 

^{x     3}



^{1 ex x ex}



 x  ^f'

 

^{x 3e 1x}



^x



d. f :x e 1

e 3

x x





 x 

     

 

³

e e 3 e e 1

'

e 3

x x x x

x

f x    

 

 x 

 



^e



²

' 4e

3

x x

f x 



On ne développe jamais les dénominateurs de dérivées.

e.f :x 4e^x1

 x  ^'

 

^4e

2 4e 1

x

f x  x

 (formule

 

^{' '}

2 u u

u

 )

 x 

 

4

' 2e

e 1

x x

f x 

 f.f :x 4

3e^x 1



réécriture indispensable

 

^{3 4 1}

e^x 1 f x   



 x 

 

 

²

' 0 4 e

e 1

x x

f x

 

 

   

  

 

 x 

 



^e



²

' 4e

1

x x

f x 

 7

f :x



^{2x1 e}



^x

1°)f est une fonction dérivable sur comme produit de fonctions dérivables sur.

 x  ^f'

 

^x   ^{2 ex}



^2x ¹



^ex [formule de dérivation d’un produit]

 x  ^f'

 

^x ^ex²



^2x¹



 [on factorise ; on ne développe surtout pas, ce serait une perte de temps]

 x  ^f'

 

^x 



^2x¹



^ex

2°)

x – 1

2 + Signe de 2x1 – 0 +

Signe de e^x + + Signe de ^f'

 

^x – 0 +

Variations def

0 +

2

 e

On calcule le minimum global qui apparaît dans le tableau.

1

1 1 2

2 1 e

2 2

f      ^

1

e 2

1

2 2

f   ^ 2

e 1 f 2

  

 (

1 2

1 2

1 1

e e e

   ou propriété 5 puis propriété 2 :

1

2 1 1 1

e e

e e

     )

On peut dire quef admet un minimum global sur atteint en 1

2. Ce minimum est égal à 2

 e. On complète avec les limites données dans l’énoncé : ^{f x}

 

  _{x  } et que ^{f x}

 

_{x  } ⁰.

3°) On respecte les consignes : repère orthogonal, 2 cm ou 2 « gros » carreaux pour unité sur l’axe des abscisses et 1 cm ou 1 « gros » carreau pour unité sur l’axe des ordonnées.

O

C

A T

On commence par placer le point correspondant au minimum global et on trace la tangente horizontale en ce point avec la convention usuelle de tracé d’une tangente.

On a 2

1, 21...

 e  . On place quelques points.

 

^{0 1}

f   ; 1 2 0

f     ;

 

^{1 3}

f   e

Comme ^{f x}

 

_{x  } ⁰,

C

admet la droite d’équation y0 c’est-à-dire l’axe des abscisses pour asymptote horizontale en – ∞.

1

2

2

 e

1 i

 j

 1

2

4°) Pour le tracé de la tangenteT à

C

au point A d’abscisse 0, il suffit de calculer le coefficient directeur.

On a ^{f' 0}

 

^1. Le coefficient directeur deT est donc égal à 1 d’où le tracé très facile (en avançant de 1 on doit

« monter » de 1).

8 f :x e

e 1

x x

C

: courbe représentative def dans le plan muni d’un repère



^{O, , i j}



La fonctionf n’est pas une fonction rationnelle.

1°)

 x 

   

 

²

e 1 e e e

'

1 e

x x x x

x

f x    

 

 x  ^f'

 

^x ^exe2xe^2x



^{1 e x}



²

 x 

 



¹



²

' e

e

x x

f x 



2°)  x e^x0 et



^{1 e x}



^{20 donc x f'}

^{ }

^{x 0.}

On en déduit quef est strictement croissante sur.

x − +

Signe de ^f'

 

^{x +}

Variations def

1 0

On complète avec les limites données dans l’énoncé.

D’après le tableau de variations avec les limites, on peut dire que la fonctionf est à valeurs dans l’intervalle

 

^{0 ;1 .}

Mieux, on peut écrire ^f

 

 

 

^{0 ;1}.

3°)

On effectue un petit tableau de valeurs, très facile à faire avec la calculatrice.

x – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5

 

f x 0,007 0,3 0,1 0,5 0,73 0,6 0,95

valeur approchée (sauf pour l’image de 0)



^{0, 25}



^{0, 24...}

f 

 

^{0,5 0, 23...}

f 

La courbe

C

passe par le point A 1 0 ;2

 

 

 .

Comme ^{f x}

 

_{x  } ¹,

C

admet la droite d’équation y1 pour asymptote horizontale en +∞.

Comme ^{f x}

 

_{x  } ⁰,

C

admet la droite d’équation y0 c’est-à-dire l’axe des abscisses pour asymptote horizontale en – ∞.

On trace la droite d’équation y1.

On place les points du tableau de valeurs sur le graphique.

O

C

A

T



On vérifie à l’aide de la calculatrice graphique.

4°)

On commence par calculer ^{f' 0}

 

^.

   

0

2 2

0

e 1 1

' 0 e 1 2 4

f   



donc la tangenteT a donc pour coefficient directeur 1 4. i

 j



Pour le tracé, on peut dire que le vecteur 1 1 ;4 u 

 

 



est un vecteur directeur deT.

Rappel :

SoitD une droite de coefficient directeurm.

Le vecteur^u



^{1 ;m}



est un vecteur directeur deD.

Il est plus facile de représenter le vecteur^4u



^{4 ;1}



(on avance de 4 unités vers la droite et on monte d’une unité vers le haut).

On peut démontrer que

C

est en dessous deT sur



 ^{; 0}



et au-dessus deT sur



^{0 ;} 



. On dit que le point A est unpoint d’inflexion de la courbe

C

^{et queT est une}tangente d’inflexion.

5°) On sait que A 1 0 ;2

 

 

 . On applique la propriété du centre de symétrie d’une courbe avec a0 et 1 b2. On va donc démontrer h 

   

^{2 1}

f h f h  2 soit  h ^{f h}

 

^f

 

^h ¹. On pose h  ^{g h}

 

^{f h}

 

^f

 

^h .

1^ère méthode :

 h

 

^{e e}

e 1 e 1

h h

h h

g h



  

 

 h

 

1

e e

e 1 1 1

e

h h

h h

g h  

 

 h

 

1

e e

e 1 1 e

e

h h

h h

h

g h  

 

 h

 

^{e 1}

e 1 1 e

h

h h

g h  

 

 h

 

^{e 1}

e 1

h

g h  h



 h ^{g h}

 

¹

2^e méthode :

 h 

 

^{e e}

e 1 e 1

h h

h h

g h



  

 

 h 

     

  

e e 1 e e 1

e 1 e 1

h h h h

h h

g h

 



  

  

 h 

 

^e0₀ ^{e e0 e}

e e e 1

h h

h h

g h





  

   

 h 

 

^{2 e e}

2 e e

h h

h h

g h





 

  

 h  ^{g h}

 

¹

On en déduit que

C

admet le point A pour centre de symétrie.

9 Démonstration d’une inégalité à l’aide d’une fonction auxiliaire Démontrons que x  e^x1x.

Étudions les variations de la fonctionf :xe^x 1 x (on notera que l’expression e^x 1 x correspond à

« membre de gauche – membre de droite »).

f est dérivable sur comme somme de fonction dérivable sur.

 x  f'

 

x e^x1 (on n’écrit pas f'

 

x e^x 0 1 de manière à aller un peu plus vite).

 Pour étudier le signe de ^f'

 

^x , on résout une équation et deux inéquations.

 

' 0

f x 

 

^{1 f'}

 

^{x 0}

 

^{2 f'}

 

^{x 0}

 

³

 

^{1 Ûex} ^{1 0}

 

¹ Ûe^x1

 

¹ Ûx0

 

^{2 Ûex} ^{1 0}

 

² Ûe^x1

 

² Û x0

 

^{3 Ûex} ^{1 0}

 

³ Ûe^x1

 

³ Û x0

 On peut aussi utiliser directement le fait que la fonction exponentielle est strictement croissante sur et que e01.

x – 0 + Signe de ^f'

 

^x – 0 +

Variations def

0

On calcule le minimum global f

 

0 e⁰    0 1 1 1 0. Les limites n’ont pas d’intérêt ici.

1^ère façon pour terminer :

D’après le tableau de variations,f admet un minimum global sur égal à 0 obtenu pour x0. On en déduit que x  ^{f x}

 

^0.

Autrement dit, x e^x 1 x0 d’où x e^x1x. 2^e façon pour terminer :

D’après le tableau de variations,f est à valeurs positives ou nulles sur.

On en déduit que x  ^{f x}

 

^0.

Autrement dit, x e^x 1 x0 d’où x e^x1x. Remarques :

1.Rédaction

Pour parler du minimum ou du maximum d’une fonction, on peut s’exprimer de plusieurs manières.

On peut dire que «fadmet un minimum global sur égal à 0 obtenu (ou atteint) pour x0 » ou que « 0 est le minimum global def sur obtenu (ou atteint) pour x0 ».

2. Cette inégalité traduit que la courbe de la fonction exponentielle est située au-dessus de la tangente au point d’abscisse 0.

On note

C

la courbe représentative de la fonction exponentielle dans le plan muni d’un repère.

La tangenteT à

C

au point d’abscisse 0 a pour équation y x 1.

A

T

C

O

L’inégalité x  e^xx1 traduit le fait que

C

est au-dessus deT.

i

 j



10

On applique la formule

 

^{eu 'u' eu où}u est une fonction dérivable.

Voir cours exponentielle (2) paragraphe IV.

a.f :x3e^2x

 x  ^f'

 

^{x  3 2e2x6e2x}

b.f :xe^{1 3x}

 x  ^f'

 

^{x  3e1 3x}

c.f :x5e^x2

 x  ^f'

 

^{x   5}



^{2 exx2}



 x  ^f'

 

^{x  10 ex x2}

d.f :x



^{x1 e}



^x

 x  ^f'

 

^{x  1 ex}



^x1

 

^ex



(formule de dérivation d’un produit)

 x  ^f'

 

^x ^ex 



^{x 1 e}



^x

 x  ^f'

 

^x  ¹



^x^{1 e}



 ^x (on factorise tout de suite)

 x  ^f'

 

^x  ^xex e.f :x 4

e^x2e^x

On effectue la réécriture

 

^{4 1}

e^x 2e ^x

f x   _

 .

 x 

 



^{e 2e}



²

' 4

e 2e

x x

x x

f x





  

 

  

  

 

 x 

 

 

²

e 2e

4 e '

2e

x x

x x

f x





   



 x 

 

 

²

2e e

4 e '

2e

x x

x x

f x





  

 (étape facultative)

f.f :xx^{2 2}e^x

 x  ^f'

 

^{x 2xe2xx22e2x}

 x  ^f'

 

^x ^2x



¹^x



^e2x

g.f :x1 5e²

x



 x  ^'

 

^{0 5 1e2}

2

x

f x    (on observe que

1

2 2

e e

x x

 )

 x 

 

^5e2

' 2

x

f x  

On sait quee² e

x

 x mais cela n’a pas d’intérêt ici.

h.f :x e^2x x x *

  '

 

^2e2 ₂^{e2 1}

x x x

f x

x

  



x *

 

   

²

2

2 1 e

'

x

f x

x  x



i.f :x



^3x



^ex

 x  ^f'

 

^{x   1 ex }



^{3 x}

 

^ex



 x  ^f'

 

^x  ^ex



^x^{3 e}



^x

 x  ^f'

 

^x 



^x⁴



^ex

j.f :x



^e2x1



⁵

On applique la formule de dérivation

 

^{un 'nu u' n1.}

 x  ^f'

 

^{x  5 2e2x}



^e2x1



⁴

 x  ^f'

 

^{x 10e2x}



^e2x1



⁴

k.f :x

2

3 e ^x4

On effectue la réécriture

 

³ ₂¹

e^x 4 f x  

 .

 x 

 

 

2 2 2

2e

e 4

' 3

x x

f x

 

 

  

 

 

 x 

 

 

2 2 2

' 6e

e 4

x x

f x  

 11

On utilise une technique qui peut s’appliquer à des expressions plus simples telles que les expressions affines de la forme ax b ,a etb étant deux réels, étudiées en 2^e.

· A 1 e^x

A0

 

^{1 A0}

 

^{2 A0}

 

³

 

^{1 Û1 e} ^x⁰

 

^{1 Ûex}¹

 

^{1 Û x 0}

 

^{1 Û x0}

 

^{2 Û1 e} ^x⁰

 

^{2 Ûex}¹

 

^{2 Û x 0}

 

^{2 Û x0}

 

^{3 Û1 e} ^x⁰

 

^{3 Ûex}¹

 

^{3 Û x 0}

 

^{3 Ûx0}

x − 0 + Signe de A – 0 +

· Be^4x11

B0

 

^{1 B0}

 

^{2 B0}

 

³

 

¹ Ûe^4x1 1 0

 

¹ Ûe^4x11

 

¹ Û4x 1 0

 

¹ Û 1 x4

 

² Ûe^4x1 1 0

 

² Ûe^4x11

 

² Û4x 1 0

 

² Û 1 x4

 

³ Ûe^4x1 1 0

 

³ Û4x 1 0

 

³ Û4x 1 0

 

³ Û 1 x4

x − 1

4 + Signe de B – 0 +

· Ce^xe^x

C0

 

^{1 C0}

 

^{2 C0}

 

³

 

¹ Ûe^xe^x0

 

^{1 Û}e^xe^x

 

¹ Ûx x

 

^{1 Û2x0}

 

¹ Ûx0

 

² Ûe^xe^x0

 

^{2 Û}e^xe^x

 

² Ûx x

 

^{1 Û2x0}

 

¹ Û x0

 

³ Ûe^xe^x0

 

^{3 Û}e^xe^x

 

³ Û x x

 

^{1 Û2x0}

 

¹ Û x0

x − 0 + Signe de C – 0 +

· De^2xe^x1

D0

 

^{1 D0}

 

^{2 D0}

 

³

 

¹ Ûe^2xe^x10

 

^{1 Ûe2x}^ex1

 

¹ Û2x x 1

 

^{1 Ûx1}

 

² Ûe^2xe^x10

 

^{2 Ûe2x}^ex1

 

² Û2x x 1

 

^{1 Û x1}

 

³ Ûe^2xe^x10

 

^{3 Ûe2x}^ex1

 

³ Û2x x 1

 

^{1 Û x1}

x − 1 + Signe de D – 0 +

12

Résolution de l’équation e^xa

 

1 (a : réel donné).

1^er cas :a0 ^S

 

^lna

2^e cas :a0 S 

e^x3

 

¹

On applique directement la propriété de l’encadré car 3 est un réel strictement positif.

 

^{1 Ûxln 3} (valeur exacte ; on s’arrête là)

Soit S₁ l’ensemble des solutions de

 

^{1 .}

1

 

ln 3 S 

On vérifie avec le site dcode.

2 1

e^x 2

 

²

 

^{2 Û2x 1 ln 2}

 

^{2 Û 1 ln 2}

x 2

Soit S₂ l’ensemble des solutions de

 

^{2 .}

2

1 ln 2 S   2 

 

e^x1 e 1

 

³

 

3 Ûe^x1 e 1 (il est inutile d’écriree 1 e  ¹ e⁰ car on ne peut rien faire avec une somme d’exponentielles)

 

³ Û^{x 1 ln e 1}



^



^{car e 1 0 }

 

^{3 Û}xln e 1



 



1 (on peut pas transformer ln e 1







; éventuellement on peut utiliser ln e 1 ce qui donne ^{ln e 1}

 

^{ln e lne 1}

x    e )

Soit S₃ l’ensemble des solutions de

 

3 .

 

 

3 ln e 1 1

S   