La fonction exponentielle
1. Définition On admet qu’il existe une fonction f dérivable sur Rtelle que f0 =f etf(0) = 1. De plus, cette fonction est unique (l’exercice suivant vous propose de démontrer cette unicité). On appelle cette fonction f, lafonction exponentielle.
2. Exercice IROC
(a) Soitf dérivable surRtelle quef0 =f etf(0) = 1On va prouver quef ne s’annule jamais sur R Soit gla fonction définie sur Rpar : g(x) =f(−x)f(x). Démontrer que
pour toutx deR,g0(x) = 0 et en déduire que, pour toutx deR,f(−x)f(x) = 1puis quef(x)6= 0.
...
...
...
...
(b) Soit g une autre fonction dérivable sur R telle que, pour tout x de R, g0(x) = g(x) et g(0) = 1.
Comme g ne s’annule pas sur Ron peut poserh= f g.
Montrer que pour toutx réel,h0(x) = 0, puis que h(x) = 1. En déduire que f =g.
...
...
...
...
3. Notation
On note la fonction exponentielle f :f(x) = exp(x).
4. Propriétés algébriques Pour tous réels aetb
(a) exp(a+b) = exp(a)×exp(b)
Démonstration( à compléter) Soit bun nombre réel quelconque et k= 1 exp(b)
Soit gla fonction définie sur Rpar : g(x) =kexp(x+b). Montrer que g0 =g et queg(0) = 1.
...
...
Que pouvez-vous en déduire de la fonctiong? ...
Conclure...
(b) exp(a)>0
Démonstration( à compléter)
On sait déjà que,pour tout ade R,exp(a)6= 0. On suppose qu’il existe bréel tel que : exp(b)<0 La fonction exponentielle est-elle continue ?...
On aexp(b)<0<exp(0).Quel théorème permet d’affirmer qu’il existe un réelctel queexp(c) = 0? ...
Est-ce possible ?...Concluez...
(c) exp(−a) = 1
exp(a) Dém...
(d) exp(a−b) = exp(a)
exp(b) Dém...
(e) Pour tout entier n∈Z, exp(na) = (exp(a))n
Dém. Pour n∈N, par récurrence. A faire comme exercice.
1
5. La notation ex
(a) Définition L’image de 1 par la fonction exponentielle est notée e, c’est-à-dire, exp(1) =e (b) Remarque
On a e≈2,718. On a aussi, pour tout entier n,exp(n) = exp(n×1) = (exp(1))n Dorénavant,on note pour xréel : exp(x) = ex.
(c) Les propriétés avec la nouvelle notation
i. La fonctionx7−→ex est dérivable et sa dérivée est elle-même.
ii. e0 = 1 et pour toutx réel,ex>0 iii. Pour tous aetbréels etn entier :
ea+b = ea×eb, e−a= 1
ea, ea−b = ea
eb, (ea)n= ean 6. Étude de la fonction exponentielle
(a) La fonction exponentielle est strictement croissante sur R
(b) lim
x→+∞ex= +∞
Démonstration IROC
Soit gla fonction définie par : g(x) = ex−x. On a pour toutx réel,g0(x) = ex−1 On obtient le tableau de variation de g
x −∞ 0 +∞
g0(x) − 0 +
g(x) 1
Le minimum de g est 1, ce qui permet d’affirmer que pour tout x réel g(x)>0 , c’est-à-dire, pour toutx réel : ex > x.
Comme lim
x→+∞x= +∞, par comparaison, lim
x→+∞ex = +∞
(c) lim
x→−∞ex= 0
Démonstration IROC
x→−∞lim −x=+∞
et lim
X→+∞
eX =+∞
alors lim
x→−∞e−x=+∞= lim
x→−∞
1
ex donc : lim
x→−∞ex= 0 (d) Tableau de variation de la fonction exponentielle :
x −∞ +∞
exp0(x) + exp(x)
0
+∞
(e) On noteC la courbe représentative de la fonctionexpdans un repère orthonormal.
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
−3
C:y=ex
(f) Remarque
D’après ce qui précède, pour tout réel mavec m >0, l’équationex=m a une unique solution dans R
i. ea= eb⇐⇒a=b ii. ea<eb⇐⇒a < b 7. Autres limites importantes
1) lim
x→+∞
ex
x = +∞ 2) lim
x→−∞xex= 0 3) lim
h→0
eh−1
h = 1
Démonstration IROC
1) Soit gdéfinie sur Rpar g(x) = ex−x2
2 ;g0(x) = ex−x >0 (voir plus haut) ; g est donc croissante sur ]0; +∞[. Or, g(0) = 1 donc sur ]0; +∞[,ex > x2
2 ce qui implique : ex x > x
2.
Comme lim
x→+∞
x
2 = +∞alors lim
x→+∞
ex
x = +∞
2) exercice
3) On utilise la définition du nombre dérivé.
8. Dérivée de la fonction composée x7−→eu(x)
Soit uune fonction dérivable sur un intervalle ide R. La fonctioneu est dérivable sur I et pour toutx :
eu(x)0
= eu(x)×u0(x)
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