• Aucun résultat trouvé

La fonction exponentielle 1. Définition On admet qu’il existe une fonction

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "La fonction exponentielle 1. Définition On admet qu’il existe une fonction"

Copied!
3
0
0

Texte intégral

(1)

La fonction exponentielle

1. Définition On admet qu’il existe une fonction f dérivable sur Rtelle que f0 =f etf(0) = 1. De plus, cette fonction est unique (l’exercice suivant vous propose de démontrer cette unicité). On appelle cette fonction f, lafonction exponentielle.

2. Exercice IROC

(a) Soitf dérivable surRtelle quef0 =f etf(0) = 1On va prouver quef ne s’annule jamais sur R Soit gla fonction définie sur Rpar : g(x) =f(−x)f(x). Démontrer que

pour toutx deR,g0(x) = 0 et en déduire que, pour toutx deR,f(−x)f(x) = 1puis quef(x)6= 0.

...

...

...

...

(b) Soit g une autre fonction dérivable sur R telle que, pour tout x de R, g0(x) = g(x) et g(0) = 1.

Comme g ne s’annule pas sur Ron peut poserh= f g.

Montrer que pour toutx réel,h0(x) = 0, puis que h(x) = 1. En déduire que f =g.

...

...

...

...

3. Notation

On note la fonction exponentielle f :f(x) = exp(x).

4. Propriétés algébriques Pour tous réels aetb

(a) exp(a+b) = exp(a)×exp(b)

Démonstration( à compléter) Soit bun nombre réel quelconque et k= 1 exp(b)

Soit gla fonction définie sur Rpar : g(x) =kexp(x+b). Montrer que g0 =g et queg(0) = 1.

...

...

Que pouvez-vous en déduire de la fonctiong? ...

Conclure...

(b) exp(a)>0

Démonstration( à compléter)

On sait déjà que,pour tout ade R,exp(a)6= 0. On suppose qu’il existe bréel tel que : exp(b)<0 La fonction exponentielle est-elle continue ?...

On aexp(b)<0<exp(0).Quel théorème permet d’affirmer qu’il existe un réelctel queexp(c) = 0? ...

Est-ce possible ?...Concluez...

(c) exp(−a) = 1

exp(a) Dém...

(d) exp(a−b) = exp(a)

exp(b) Dém...

(e) Pour tout entier n∈Z, exp(na) = (exp(a))n

Dém. Pour n∈N, par récurrence. A faire comme exercice.

1

(2)

5. La notation ex

(a) Définition L’image de 1 par la fonction exponentielle est notée e, c’est-à-dire, exp(1) =e (b) Remarque

On a e≈2,718. On a aussi, pour tout entier n,exp(n) = exp(n×1) = (exp(1))n Dorénavant,on note pour xréel : exp(x) = ex.

(c) Les propriétés avec la nouvelle notation

i. La fonctionx7−→ex est dérivable et sa dérivée est elle-même.

ii. e0 = 1 et pour toutx réel,ex>0 iii. Pour tous aetbréels etn entier :

ea+b = ea×eb, e−a= 1

ea, ea−b = ea

eb, (ea)n= ean 6. Étude de la fonction exponentielle

(a) La fonction exponentielle est strictement croissante sur R

(b) lim

x→+ex= +∞

Démonstration IROC

Soit gla fonction définie par : g(x) = ex−x. On a pour toutx réel,g0(x) = ex−1 On obtient le tableau de variation de g

x −∞ 0 +∞

g0(x) − 0 +

g(x) 1

Le minimum de g est 1, ce qui permet d’affirmer que pour tout x réel g(x)>0 , c’est-à-dire, pour toutx réel : ex > x.

Comme lim

x→+x= +∞, par comparaison, lim

x→+ex = +∞

(c) lim

x→−∞ex= 0

Démonstration IROC

x→−∞lim −x=+∞

et lim

X→+

eX =+∞

alors lim

x→−∞e−x=+∞= lim

x→−∞

1

ex donc : lim

x→−∞ex= 0 (d) Tableau de variation de la fonction exponentielle :

x −∞ +∞

exp0(x) + exp(x)

0

+∞

(e) On noteC la courbe représentative de la fonctionexpdans un repère orthonormal.

2

(3)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

C:y=ex

(f) Remarque

D’après ce qui précède, pour tout réel mavec m >0, l’équationex=m a une unique solution dans R

i. ea= eb⇐⇒a=b ii. ea<eb⇐⇒a < b 7. Autres limites importantes

1) lim

x→+

ex

x = +∞ 2) lim

x→−∞xex= 0 3) lim

h→0

eh−1

h = 1

Démonstration IROC

1) Soit gdéfinie sur Rpar g(x) = ex−x2

2 ;g0(x) = ex−x >0 (voir plus haut) ; g est donc croissante sur ]0; +∞[. Or, g(0) = 1 donc sur ]0; +∞[,ex > x2

2 ce qui implique : ex x > x

2.

Comme lim

x→+

x

2 = +∞alors lim

x→+

ex

x = +∞

2) exercice

3) On utilise la définition du nombre dérivé.

8. Dérivée de la fonction composée x7−→eu(x)

Soit uune fonction dérivable sur un intervalle ide R. La fonctioneu est dérivable sur I et pour toutx :

eu(x)0

= eu(x)×u0(x)

C Gerlein Maths Outils

Références

Documents relatifs

Il existe de nombreuses situations en sciences expérimentales et en sciences économiques dans lesquelles des phénomènes peuvent être modélisés par des équations du type y' = k y,

[r]

[r]

Après observation du graphique, quelle conjecture peut-on émettre?. Dresser le tableau de variation de la

Démontrer que la fonction f est strictement croissante

Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face, hachurée sur le schéma en début d'exercice?. Sur le devis qu'il propose, celui-ci demande un forfait

Utilisation : on peut écrire la relation fonctionnelle et les propriétés de la fonction exponentielle avec la nouvelle nota- tion ; on reconnaît alors les propriétés bien connues

— arrange(xmin,xmax,pas) ( array range ) : cr´ ee un array dont le premier ´ el´ ement est xmin et dont chaque ´ el´ ement est distant de pas, le dernier ´ etant strictement