Fonction exponentielle - Exercices

(1)

Fonction exponentielle - Exercices

^T^ale^S

Exercice 1

Soit n un nombre entier relatif. Simplifier les ´ecritures suivantes : a) 2²ⁿ×2 b) 2³ⁿ⁺¹

2²ⁿ⁺¹ c) 2ⁿ⁺¹³

×2⁻¹ d) 4ⁿ⁺² 2²ⁿ × 1

8 e) 2ⁿ⁺³

4⁻ⁿ ×2⁻ⁿ

Exercice 2

^Soit ^f une fonction d´efinie sur IR telle que pour toutx r´eel, f^′(x) = 0.

Que peut-on dire def?

On suppose de plus quef(0) = 2. Que peut-on alors dire de f?

Exercice 3

Déterminer les équations des tangentes à la courbe représentative de la fonction exponentielle aux points d’abscisse 0 ; 1 et 2.

Exercice 4

Simplifier les expressions : a) (e^x)⁵e⁻²^x b) e²^x⁺³

e²^x−¹ c) e^x+e⁻^x e^−x

Exercice 5

D´emontrer que pour tout r´eel x, a) e²^x−1

e^x+ 1 =e^x1−e⁻²^x

1 +e^−x . b) (e^x+e⁻^x)²−(e^x−e⁻^x)² = 4.

c) e^x−1

e^x+ 1 = 1−e⁻^x

1 +e⁻^x d) e^−x−e⁻²^x = e^x−1 e²^x

Exercice 6

Résoudre les équations et inéquations :

•(E1) :e^x = 1 • (E2) :e^2x =e •(E3) :e^x =e⁻^x •(E4) :e^x² = (e⁻^x)²e³ •(E5) :e^2x+1 =e⁶^x

•(I1) :e^x > e • (I2) :e^2x ≤1 • (I3) : (e^x)³ ≤ 1

e •(I4) :e^x− 1

e^x >0 •(I5) :e^x² ≥e⁻^x⁻¹

Exercice 7

On note C la courbe repr´esentative de la fonction exponentielle dans un rep`ere orthonormal (O;~i,~j).

1. Soita un réel. Déterminer l’équation de la tangenteTa à la courbe C au point d’abscisse a.

2. Etudier la position relative de la courbe C par rapport `a la droite T

(Indication : on pourra étudier les variations de la fonction ϕ définie par ϕ(x) =e^x−y, où y désigne l’équation de la tangente Ta).

Exercice 8

Etudier le sens de variation des fonctions suivantes :^´ 1)f(x) = e^x

x 2)f(x) =e²^x−2x 3)f(x) =e^x²−x² 4)f(x) = e^x+e⁻^x

2 5)f(x) = (2x+3)e⁻²^x

Exercice 9

D´eterminer les limites en −∞ et +∞ des fonctions suivantes :

a)f(x) =e⁻³^x b)g(x) =e^x+e^−x c) h(x) =x+e^x d)k(x) =e²^x+e^x+ 1 e)l(x) =e³^x−e^x f) m(x) = e^x+ 1

e^x+ 2 g) n(x) = −2e^x 1 +e^x

Exercice 10

D´eterminer la limite en +∞des fonctions suivantes : a)f(x) =x²+ 2−e^x b) g(x) = 2e^x−x

x² c) h(x) = e^x x²+ 1 d)l(x) =e^2x−(x+ 1)e^x e)k(x) =

√e^x+ 2

x f) t(x) = e^2x+x² x²+x−3

Exercice 11

A l’aide d’un changement de variable, ´etudier la limite en +∞ des fonctions : Y. Morel -xymaths.free.fr Fonction exponentielle - Exercices - T^aleS 1/3

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a)f(x) = e²^x⁺¹

x b)g(x) = 2e^x²⁻¹

x² c)f(x) =x³e⁻^√^x.

Exercice 12

Etudier sur IR les fonctions suivantes (sens de variations et limites) : a)f(x) =e⁻^x b)g(x) = e^x+e⁻^x c) h(x) =x+e^x d)k(x) =e³^x −3e^x e)l(x) =e⁻^x² f) m(x) = (0,4x−2)e⁻⁰^.¹^x g) n(x) = (x+ 1)²e⁻^x

Exercice 13

f etg sont les fonctions définies sur IR par :f(x) =−x²e^x etg(x) = (x²−x−1)e^x. 1. Déterminer les coordonnées des points d’intersection des courbes C^f et C^g représentatives des

fonctions f etg.

2. D´eterminer la position relative de C^f etC^g. 3. D´eterminer les limites de f etg en −∞ et +∞. 4. Dresser les tableaux de variations def etg.

Exercice 14

Un capteur solaire récupère de la chaleur par le biais d’un fluide. On s’inétéresse à l’évolution de la température du fluide dans un capeteur de 1m de longueur.

Cette température est modélisée par : T(x) = 170−150e⁻⁰^,⁶^x, où x ∈ [0; 1] est la distance, en mètres, parcourue par le fluide depuis son entré dans le capteur, etT(x) est la température en^◦C.

1. Déterminer la température à l’entrée du capteur.

2. (a) Etudier les variations de la temp´erature T sur [0; 1].

(b) En déduire la température maximale, au degré près, atteinte par le fluide.

(c) Tracer dans un repère la courbe représentant la températureT.

Exercice 15

(Extrait Bac)Soit f la fonction d´efinie sur [0; +∞[ par : f(x) = (x−1) (2−e⁻^x).

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé d’unité graphique 2 cm et ∆ la droite d’équationy = 2x−2.

1. a) Etudier les limites de f en −∞ et +∞. b) Etudier la position relative de C et ∆.

2. (a) Calculer f^′(x) et montrer que, pour tout r´eel x, f^′(x) =xe⁻^x+ 2 (1−e⁻^x).

(b) En d´eduire que, pour tout r´eelx positif, f^′(x)>0.

(c) Préciser la valeurf(0), puis établir le tableau de variation de f. 3. Avec le plus grand soin, tracer C et ∆ dans le même repère.

4. Déterminer le point de A deC où la tangente à C est parallèle à ∆.

Tracer cette tangente dans le repère précédent.

Exercice 16

^Soit ^f êt ^g deux fonctions dérivables sur IR qui vérifient les propriétés suivantes : (1) Pour tout réel x, [f(x)]²−[g(x)]² = 1

(2) Pour tout r´eel x, f(x) =g^′(x) (3) f(0) = 1.

1. a) Montrer que pour tout r´eel x, f(x)6= 0.

b) Calculer g(0).

2. En d´erivant la relation (1), montrer que g(x) = f^′(x).

3. On pose u=f+g etv =f −g.

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(3)

a) Calculer u(0) et v(0).

b) D´emontrer que u^′ =u et que v^′ =−v.

c) On déduit de ce qui précède que u(x) =Ae^x et v(x) =Be⁻^x, A et B étant deux réels.

En d´eduire alorsf etg.

Exercice 17

Soit f la fonction définie sur IR par : f(x) =x+ 1− 2e^x e^x+ 1. On noteC^f sa courbe représentative dans un repère orthogonale.

1. Démontrer que f est une fonction impaire. Que peut-on en déduire pour la courbe Cf? 2. Montrer que pour tout réel x,f(x) =x+ 1− 2

1 +e^−x. En d´eduire la limite de f en +∞.

3. a) Montrer que pour tout r´eel x, f(x)−(x−1) = 2 e^x+ 1.

En déduire que la droite d’équation ∆ d’équationy =x−1 est asymptote à C^f en +∞. b) Préciser la position de C^f par rapport à ∆.

Exercice 18

On consid`ere la fonction f d´efinie sur IR par : f(x) = 1

e^x+e⁻^x, et on d´esigne par Γ sa courbe repr´esentative.

1. Etudier la parité def. Que peut-on en déduire pour la courbe Γ ? 2. Démontrer que, pour tout réelx positif ou nul, e⁻^x ≤e^x.

3. a) D´eterminer les limites de f en +∞.

b) Etudier les variations de f sur [0; +∞[, et tracer l’allure de Γ.

Exercice 19

^f est la fonction d´efinie sur IR par f(x) = (2x+ 1)e⁻²^x.

C est sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O;~i,~j) (unité graphique 2 cm).

1. a) Déterminer la limite de f en +∞. Que peut-on en déduire ? b) Déterminer la limite de f en −∞.

2. Dresser le tableau de variation de f.

3. a) D´eterminer les coordonn´ees du point A d’intersection de C avec l’axe des abscisses.

b) Etudier le signe de f(x) suivant les valeurs de x.

Exercice 20

((d’apr`es Bac S) g1 etg2 sont les fonctions d´efinies sur IR par : g1(x) =xe⁻^x et, g2(x) =x²e⁻^x

1. a) Etudier les limites de g1 et g2 en −∞ et +∞. Interpr´eter graphiquement ces r´esultats.

b) Etudier le sens de variation deg1 etg2.

2. Dans un repère orthonormal du plan, on note C¹ etC² les courbes représentatives de g1 et g2. a) Préciser la position relative des deux courbes.

b) Tracer les deux courbes.

3. a) Donner une équation de la tangente à la courbeC¹ au point d’abscisse a (a réel).

b) Cette tangente coupe l’axe des ordonnées en un point N. Déterminer en fonction de a, l’ordonnée de N.

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