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Discontinuit´ e de temp´ erature dans un tube

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Academic year: 2022

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DIRECTION DE LA FORMATION ET DE LA RECHERCHE

GUIDE PRATIQUE DE L’ENSEIGNANT VACATAIRE

Ce guide pratique de l’enseignant vacataire vise à fournir aux enseignants vacataires de l'ENSTA un certain nombre d'informations dont la connaissance est importante pour le bon déroulement des enseignements. En en prenant connaissance et en observant les consignes qui y sont données - et, autant que possible expliquées -, vous permettrez que votre intervention à l'ENSTA s'effectue dans les meilleures conditions, et vous nous témoignerez une adhésion appréciée au projet pédagogique global de l'ENSTA.

I. Chronologie d’un enseignement à l’ENSTA A- Avant le démarrage des cours

Fiche d'objectifs (concerne le professeur chargé du cours) : à l'invitation de la Direction de la Formation et de la Recherche (DFR), chaque professeur chargé de cours fournit à l'ENSTA une proposition d'équipe enseignante et de programmation détaillée pour son cours. Cette proposition est fournie sous la forme d'une fiche d'objectifs à remplir via un formulaire en ligne sur le portail internet ouvert à l’intention des enseignants vacataires de l’ENSTA (l’accès se fait à l’aide d’un identifiant et d’un mot de passe communiqués par l’école). La fiche d'objectifs permet également de réserver les principaux moyens nécessaires pour le cours (salle informatique, moyens audiovisuels...) Une partie des informations de la fiche alimente automatiquement la page bilingue qui est publiée sur internet pour chaque cours ainsi que les divers catalogues et livrets d’enseignements édités par l’ENSTA. Il importe donc de rédiger avec soin les rubriques d’informations générales (titre, objectifs, mots-clés) en français et en anglais.

L'ENSTA confirme alors par un courrier qu'elle passe commande pour l'enseignement concerné.

Demandes de moyens particuliers : pour des cours nécessitant une définition des moyens audiovisuels ou informatiques plus précise que celle fournie dans la fiche d'objectifs (notamment logiciels ou systèmes d'exploitation particuliers), les besoins pourront être exprimés par e-mail aux adresses suivantes : tdinfo@ensta.fr pour les moyens informatiques, Maudio@ensta.fr pour les moyens audiovisuels. Nous vous remercions de prendre rendez-vous et d'apporter votre collaboration au service concerné de manière à ce que le bon fonctionnement des matériels ou logiciels dans l'environnement de l'ENSTA puisse être vérifié au moins une semaine avant le cours concerné. Aucune demande formulée le jour même de l'enseignement ne sera prise en considération.

Documents de cours et polycopiés : Les documents de cours destinés à être reproduits par le service édition de l’ENSTA et distribués aux élèves doivent être fournis aux conseillers des études de l'année concernée (sous forme électronique ou papier) au plus tard une semaine avant les séances de cours correspondantes (quinze jours avant le premier cours dans le cas d'un polycopié couvrant l'ensemble des séances). Aucune copie ne sera réalisée le jour où se déroule le cours. Ces documents doivent nécessairement être identifiés par le nom et sigle du cours et le nom de l'auteur. La date à laquelle ils doivent être distribués doit être mentionnée par écrit lors de leur remise. Le nombre d’exemplaires à reproduire ne saurait être supérieur au nombre d’élèves inscrits au cours correspondant augmenté du nombre d’enseignants intervenant dans ce cours.

Les types de documents à utiliser sont laissés à l'appréciation de l'enseignant chargé du cours, en concertation avec le responsable du module auquel se rattache le cours le cas échéant. Ils doivent comporter des références bibliographiques aux ouvrages et articles de référence du sujet traité. Dans tous les cas les documents devront pouvoir être ultérieurement utilisés et reproduits par l'ENSTA pour la satisfaction de ses besoins d'enseignement.

Attention : ces documents doivent être fournis chaque année. Nous attirons l’attention des enseignants qui interviennent plusieurs années consécutives qu’il n’y a pas de reconduction « tacite » de l’édition des documents !

1/5 PC 2MF 2042009/2010

Mardi 30 Novembre 2010

Transferts Thermiques dans les Fluides

Discontinuit´ e de temp´ erature dans un tube

Solution de L´evˆeque

On consid`ere un ´ecoulement de Poiseuille de fluide incompressible dans un tube cylindrique de rayon R et d’axe Ox sous l’action d’un gradient de pression constant connu dp/dx=−Π, avec Π>0. On esigne respectivement par µ,cet k: la viscosit´e dynamique, la chaleur sp´ecifique et la conductivit´e thermique du liquide. On admet que le nombre de Reynolds construit avec le rayonR de la conduite et la vitesse maximumU0 (vitesse sur l’axe) est grand devant l’unit´e, mais inf´erieur `a 2865 afin d’ˆetre assur´e d’avoir un r´egime laminaire. La paroi est maintenue `a la temp´erature constanteT0et on admet que le r´egime thermique est ´etabli (ce qui signifie que∂T /∂x= 0).

1. Retrouver (tr`es rapidement) le champ des vitesses de l’´ecoulement de Poiseuille.

2. ´Ecrire l’´equation de la chaleur avec des quantit´es sans dimension dans la r´egion de r´egime ´etabli x <0, en posant pour la temp´erature :

T =T0+ (δT) ¯T

et pour la composante longitudinale de la vitesse (sur l’axe des ¯x ) : u=U0u.¯

Donner les expressions de U0 et (δT) en fonction des propri´et´es physiques du liquide et deR.

eterminer la valeur du flux qu’il faut fournir `a la paroi pour maintenir sa temp´erature `a la valeur constanteT0, la production de chaleur par frottements visqueux n’´etant pas n´eglig´ee.

Estimer num´eriquement l’´el´evation de temp´erature en fonction de la vitesse dans le cas de l’eau.

Conclure.

3. On suppose maintenant que le nombre d’Eckert est tr`es petit. Que devient l’´el´evation de temp´erature dans ce cas ? On suppose de plus que la temp´erature de la paroi varie brusquement enx= 0 :

pour x <0, la paroi est maintenue `a la temp´erature constante T0.

pour x >0, la paroi est maintenue `a la temp´erature Tw > T0.

On s’int´eresse maintenant `a la r´egion pourx autour de 0 sur une distance de l’ordre de R (x=x).

Montrer qu’il faut changer d’´echelle pour la temp´erature et que l’on peut choisir : T =T0+ (TwT0) ¯T

1

(2)

Ecrire l’´´ equation de la chaleur (le nombre d’Eckert ´etant suppos´e nul). Compte tenu de la valeur du nombre de Prandtl (d’ordre un) montrer qu’il existe n´ecessairement une couche limite thermique sur la paroir=R pour x >0.

4. D´eterminer l’´epaisseur de la couche limite thermique, ainsi que l’´equation simplifi´ee que doit v´erifier la temp´erature dans cette zone.

5. Achever la r´esolution en recherchant une solution semblable (solution de L´evˆeque).

Fig. 1 – le tube maintenu `a la temp´eratureT0 en x <0 et `a la temp´eratureTw enx >0

Rappels : Comme ∂θ = 0, il ne reste que :

∇ ·u= ∂u

∂x+ ∂rv r∂r, d

dt =

∂t +u

∂x

2φ= 1 r

∂r(r

∂rφ) + 2

∂x2φ.

2D:D= (∂u

∂r)2.

Le code FreeFem++ pour calculer cette PC et des images de r´esultats sont sur : http ://www.lmm.jussieu.fr/∼lagree/COURS/ENSTA/HTMLPC/PC2/

2

(3)

PC2 - 3 -

PCn°2 Écoulement de Poiseuille avec discontinuité de température:

Solution de Lévêque (1928).

L'écoulement de Poiseuille, encore appelé régime établi est obtenu à une distance de l'entrée égale à environ le rayon fois le nombre de Reynolds. Dans cette région, l'écoulement à "oublié" l'existence de l'entrée; le profil de vitesse est invariant par translation, donc ∂u/∂x=0, l'équation de l'incompressibilité (∂(rv)

r∂r = 0) et les conditions d'adhérence donnent v=0. La composante radiale de l'équation de quantité de mouvement donne ∂p/∂r=0, la pression ne dépend que de la variable longitudinale, d'où:

0 = - dp dx + µ1

r(d dr (rdu

dr)),

on en déduit que chacun des deux termes est constant, d'où par intégration:

Π=-dp

dx et u = 1

4µ Π (R2-r2).

L'équation précédente s'écrit u(r)=U0 u _

, avec u _

= 1- r _2 r

_

=r/R et U0= 1

4µ Π R2. Avec la jauge proposée pour T et compte tenu de l'invariance par translation, l'équation de la chaleur s'écrit:

0 = [kδT R2 ] 1

r _ d

dr _ (r

_dT _ dr

_) + [ µU02

R2 ] (du _ dr

_)2.

La jauge de la Ture s'en déduit: (δΤ)=µU02/k=Prc-1U02. En remplaçant la vitesse par sa valeur, l'équation: 1

r _ d

dr _ (r

_dT _ dr

_) = -4 r

_2 se résout aisément en T _

=1-r _

4

4

Le vecteur flux de chaleur est dans la direction du vecteur radial: q=-kδTR-1(-r

_3), à la paroi, la quantité de chaleur sortante par unité de surface est -q(1)=-kδTR-1.

L'extérieur reçoit donc kPrc-1U02R-1.

A.N.: µ=1,0 10-3 (S.I. ou kgm-1s-1 ou Poiseuille) à 20°C , k=0,6 Wm-1K-1, cp=4,18 103 Jkg-1K-1 Pr=7, donc δT= µU02/k=Prc-1U02=1,6 10-3 U02 , si δT=1K U0=24ms-1=88km/h (un peu rapide pour un tuyau d'eau), mais pour rester à un nombre de Reynolds inérieur à 2500 cela donne un diamètre de 0.1mm. C'est donc impossible

3. Par hypothèse T _

=0 pour x situé en aval du changement de température, l'élévation de température induite est très faible. On impose une nouvelle température, il est donc raisonnable de faire intervenir l'écart dans la jauge. L'équation de la chaleur devient (ici complète):

u_ ∂

∂x_T _

= 1 Re ( 1

Pr

∂ _r

∂_ (rr _∂

∂r_T _

) + ∂

∂x_ (

∂x_T _

) + E (∂

∂_ur _)2)

E=Prc-1U02/(Tw-T0) est le nombre d'Eckert, ce nombre est très petit, par exemple si on chauffe de 10K, E=0.1 à 88km/h! On pose donc E=0. On remarque au passage que E est un paramètre qui produit une perturbation régulière.

Puisque le nombre de Péclet (PrRe) est grand, on a asymptotiquement: u_ (∂T

_ /∂x_

) = 0. La température, qui était égale à 0, le reste! sauf en r_

=1 où u_

=0, là T _

=1. Il y a donc un problème singulier... On introduit donc une couche limite d'épaisseur inconnue εR pour l'instant, on pose, près de la paroi:

_r =1-εr~

, et on réécrit l'équation de la chaleur en repêchant les termes qui ont disparu brutalement par le précédent passage à la limite. Pour ε tendant vers 0, la vitesse 1- r

_2 au premier ordre est linéaire en r~ , l'échelle longitudinale reste la même, le terme de dérivée totale devient donc (on met un tilde sur T, car T dépend de r tilde):

(4)

2 ε r~ ∂

∂x_T

~ + O(ε2)

Le terme de laplacien se développe, le terme ∂

∂x_ (

∂x_) est affecté d'un coefficient d'ordre un, le deuxième terme, se développe et a une contribution colossale:

ε-2 (∂

∂~ (r ∂

∂~))+ O(r ε-1) en regroupant 2 ε r~ ∂

∂x_T

~ + O(ε) = 1

PrRe ( ε-2 (∂

∂~ (r ∂

∂~)Tr

~)+ O(ε-1)

Pour garder le maximum de termes, on choisit par PMD ε=Re-1/3. D'où:

2 r~ ∂

∂x_T

~ = 1 Pr (∂2

∂~r2 T~ ) Un choix équivalent: ε=(2PrRe)-1/3, donne une équation plus jolie:

r~ ∂

∂x_T

~ = ∂2

∂r~2 T~ Conditions aux limites, T~

=0 pour ; x_

<0 et T~

=1 pour x_

>0. Condition de raccord (condition limite) T

_ (x_

,r_

→1) = T _

(x_ ,r~

→∞).

Solution semblable: on cherche par dilatation des variables à rendre l'équation différentielle invariante par ces dilatations:

x_

=x^x*, ~r

= r^r*, T~

=T^ T*. donc r*3=x* et T*=1. La solution est une fonction implicite

F(x_ ,r~

, T~ )=0

par l'invariance; F(x^x*,r^r*, T^ T*)=0. ou F(x^r*3,r^r*, T)=0.

ce que l'on peut reformuler en faisant disparaître r* du maximum d'arguments:

F2(x^r*3,r^x^-1/3,T^ )=0.

Ceci étant vrai pour tout r*, cet argument n'intervient pas, la solution est donc de la forme:

T^ = θ(η) avec η=r^x^-1/3. ηx^1/3 θ' (-1/3) η/x^ = θ'' x^-2/3, soit:

(-η2/3) = θ''/θ' θ(0)=1 θ(∞)=1.

Par chance on peut résoudre a mano donc Log(θ') = -η3/9, compte tenu des conditions aux limites:

θ(η) =1-

0 η

exp(-ξ3/9)dξ /

0

exp(-ξ3/9)dξ = Γ(1/3,η3/9)/Γ(1/3)

la dernière écrite tient compte de la définition de la fonction Gamma incomplète généralisée:

Γ(a,z) =

z

ta-1e-tdt On a pour θ une fonction qui décroît de 1 à 0:

(5)

PC2 - 5 -

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2 0.4 0.6 0.8 1

η 0

θ(η) dη = 1.051416,

0

η θ(η) dη = 0.8075 et la valeur de la dérivée à la paroi est utile pour évaluer le nombre de Nusselt:

(∂

∂ηθ)=-3 1/3 /(exp(z 3/9) Γ(1/3)) en 0: (∂θ

∂η)0 = -31/3 / Γ(1/3) = -0.538366 La solution composite est:

T = T0 + (Tw-T0) Γ(1/3,R-2(2PrRe)y3/x/9)/Γ(1/3) NOTES

- rappel: la solution de: ∂

∂x_T

~ = ∂2

∂r~2 T~ , et T~

(0)=1 T~

(∞)=0, est la fonction erreur complémentaire...

T(r,x) = 1

√π

r 2√x

exp(-ξ2)dξ = Erfc(r/(2√x)) et (Erf(x)= 2

√π

0 x

exp(-ξ2)dξ =1-Erfc(x))

- pour aller un peu plus loin: déterminer l'ordre de grandeur de la région où il faut retenir tous les termes... (près du nez), puis il existe une région où la couche limite a rattrapé la hauteur pour une longueur ~ReR, on est dans le régime établi:

( ∂ _r

∂_ (rr _∂

∂r_T _

))=0. donc T_

=1.

-cas de la paroi adiabatique...ce cas est plus compliqué: la température reste de même jauge (on n'impose pas un saut de ture), le raccord se fait sur la pente.

la résolution est pénible et pas par une intégrale difficile...

- Le nombre d'Eckert à comparer au nombre de Mach...

- En pratique, il est impossible d'imposer un saut de température: la conduction dans le solide va rendre plus douce la discontinuité... mais ici on est en fait à une échelle plus grande

A retenir

Le terme source en µ(∂u/∂y)2 est en général très faible en convection forcée (Sauf en supersonique cf PC de révision). Un écoulement est toujours cisaillé près de la paroi, d'où l'intérêt d'étudier la diffusion dans un champ de cisaillement pur...

Bibliographie

Schlichting (1987): "Boundary Layer theory" Mc Graw Hill, qui cite Lévêque.

Références

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