Refroidissement d’un mur

DIRECTION DE LA FORMATION ET DE LA RECHERCHE

GUIDE PRATIQUE DE L’ENSEIGNANT VACATAIRE

Ce guide pratique de l’enseignant vacataire vise à fournir aux enseignants vacataires de l'ENSTA un certain nombre d'informations dont la connaissance est importante pour le bon déroulement des enseignements. En en prenant connaissance et en observant les consignes qui y sont données - et, autant que possible expliquées -, vous permettrez que votre intervention à l'ENSTA s'effectue dans les meilleures conditions, et vous nous témoignerez une adhésion appréciée au projet pédagogique global de l'ENSTA.

I. Chronologie d’un enseignement à l’ENSTA A- Avant le démarrage des cours

Fiche d'objectifs (concerne le professeur chargé du cours) : à l'invitation de la Direction de la Formation et de la Recherche (DFR), chaque professeur chargé de cours fournit à l'ENSTA une proposition d'équipe enseignante et de programmation détaillée pour son cours. Cette proposition est fournie sous la forme d'une fiche d'objectifs à remplir via un formulaire en ligne sur le portail internet ouvert à l’intention des enseignants vacataires de l’ENSTA (l’accès se fait à l’aide d’un identifiant et d’un mot de passe communiqués par l’école). La fiche d'objectifs permet également de réserver les principaux moyens nécessaires pour le cours (salle informatique, moyens audiovisuels...) Une partie des informations de la fiche alimente automatiquement la page bilingue qui est publiée sur internet pour chaque cours ainsi que les divers catalogues et livrets d’enseignements édités par l’ENSTA. Il importe donc de rédiger avec soin les rubriques d’informations générales (titre, objectifs, mots-clés) en français et en anglais.

L'ENSTA confirme alors par un courrier qu'elle passe commande pour l'enseignement concerné.

Demandes de moyens particuliers : pour des cours nécessitant une définition des moyens audiovisuels ou informatiques plus précise que celle fournie dans la fiche d'objectifs (notamment logiciels ou systèmes d'exploitation particuliers), les besoins pourront être exprimés par e-mail aux adresses suivantes : tdinfo@ensta.fr pour les moyens informatiques, Maudio@ensta.fr pour les moyens audiovisuels. Nous vous remercions de prendre rendez-vous et d'apporter votre collaboration au service concerné de manière à ce que le bon fonctionnement des matériels ou logiciels dans l'environnement de l'ENSTA puisse être vérifié au moins une semaine avant le cours concerné. Aucune demande formulée le jour même de l'enseignement ne sera prise en considération.

Documents de cours et polycopiés : Les documents de cours destinés à être reproduits par le service édition de l’ENSTA et distribués aux élèves doivent être fournis aux conseillers des études de l'année concernée (sous forme électronique ou papier) au plus tard une semaine avant les séances de cours correspondantes (quinze jours avant le premier cours dans le cas d'un polycopié couvrant l'ensemble des séances). Aucune copie ne sera réalisée le jour où se déroule le cours. Ces documents doivent nécessairement être identifiés par le nom et sigle du cours et le nom de l'auteur. La date à laquelle ils doivent être distribués doit être mentionnée par écrit lors de leur remise. Le nombre d’exemplaires à reproduire ne saurait être supérieur au nombre d’élèves inscrits au cours correspondant augmenté du nombre d’enseignants intervenant dans ce cours.

Les types de documents à utiliser sont laissés à l'appréciation de l'enseignant chargé du cours, en concertation avec le responsable du module auquel se rattache le cours le cas échéant. Ils doivent comporter des références bibliographiques aux ouvrages et articles de référence du sujet traité. Dans tous les cas les documents devront pouvoir être ultérieurement utilisés et reproduits par l'ENSTA pour la satisfaction de ses besoins d'enseignement.

Attention : ces documents doivent être fournis chaque année. Nous attirons l’attention des enseignants qui interviennent plusieurs années consécutives qu’il n’y a pas de reconduction « tacite » de l’édition des documents !

MF 204 2010/2011 Mardi 23 novembre 2010

Transferts Thermiques dans les Fluides

Refroidissement d’un mur

Refroidissement d’un mur.

Soit un mur infini ( !) de caract´eristiques physiques constantes (c_p, ρ, k) d’´epaisseur 2L, initialement `a la temp´erature T0, au temps t > 0 on impose `a ses bornes une temp´erature constante Text. Nous nous proposons de r´esoudre analytiquement ce probl`eme tr`es simple, qui est aussi nomm´e ”probl`eme de la trempe” (ou ”r´eponse `a un ´echelon de temp´erature”).

1. ´Ecrire l’´equation de la chaleur et ses conditions aux limites. Adimensionner et r´esoudre par s´eparation des variables.

2.1. On ´etudie maintenant les temps courts, on pose ˜t= ¯t/ε. Montrer que le probl`eme devient singulier et en d´eduire qu’il faut introduire une couche limite en temps d’´epaisseurε<sup>1/2</sup>.Poser le syst`eme complet.

2.2. Montrer que l’on peut trouver une solution semblable, r´esoudre.

3. Reprendre l’´etude du 1. en supposant cette fois que les deux bords sont entour´es par un fluide mod´elis´e par un coefficient d’´echangeh.

4. Montrer que la limite de la solution 1. aux temps petits et pr`es de la fronti`ere est bien la solution d´egag´ee en 2.

Refroidissement d'un mur.

COURS MF204 PC 1

2005-2006

Soit un mur infini (!) de caractéristiques physiques constantes (c_p, !, k) d'épaisseur 2L, initialement à la température T₀, au temps t>0 on impose à ses bornes une température constante T_ext. On va résoudre analytiquement ce problème très simple, c'est le problème de la "trempe" (ou de réponse à un échelon).

1. Écrire l'équation de la chaleur et ses conditions aux limites. Adimensionner et résoudre par séparation des variables.

2.1. On étudie maintenant les temps courts, on pose t~ = t _

/". Montrer que le problème devient singulier et en déduire qu'il faut introduire une couche limite d'épaisseur "^1/2. Poser le système complet.

2.2. Montrer que l'on peut trouver une solution semblable, résoudre.

3. Montrer que la limite de la solution 1. aux temps petits et près de la frontière est bien la solution dégagée en 2.

2 L T(x,t)

PC1 -1-

Fig. 1 – Refroidissement impulsif d’un mur infini

1

Correction PC1 Refroidissement d’un mur

Le probl`eme `a r´esoudre est l’´equation de la chaleur avec sa condition initiale et ses conditions aux bornes :

ρc_p(^∂T_∂t) =k(^∂_∂x^2T2), `a t= 0 on aT(x, t= 0) =T₀ et pour t>0 on aT(x=±L, t) =T_ext.

Posonst=τt¯(τ est inconnu) etx=L¯x, (Lest donn´e par la g´eom´etrie) etT =Text+ (T0−Text) ¯T (cette forme pour T est raisonnable puisque la temp´erature va varier de T0 `a Text). En fait le mur n’est pas infini, il est de hauteurhet de largeur`, bien entendu pour que le mur paraisse infini il faut queh >> L et` >> L. La jauge de temps pertinente est obtenue par adimensionnement et moindre d´eg´en´erescence, on voit de mani`ere simple : τ = L²/a avec a = k/ρcp ne d´epend que du mat´eriau. Le probl`eme sans dimension est donc :

∂T¯

∂¯t = (^∂_∂²_x¯^T2^¯) avec ¯T = 1 en ¯t= 0 et ¯T = 0 en ¯t>0 et ¯x=±1.

On cherche la solution sous forme de variables s´epar´ees ¯T_k = f(¯t)g(¯x). On obtient tr`es simplement des fonctions trigonom´etriques en espace (c’est en fait une s´erie de Fourier que l’on construit) et des exponentielles en temps :

T_k=exp(−k²¯t)cos(k¯x+φ_k),

par sym´etrie par rapport au centre du milieu ´etudi´e la phase est nulle. La condition de bord s’´ecrit : cos(k) = 0 de solution ki = (2i−1)π/2. ki les valeurs propres croissantes avec i, la temp´erature s’´ecrit sous forme d’une somme de ces solutions ´el´ementaires :

Σ_i>0A_iexp(−k²_it)cos(k¯ _ix)¯

Compte tenu de la condition initiale en temps 1 =

Σ

_i>0 A_icos(k_ix), par les propri´¯ et´es de l’analyse de Fourier (et remarquant la p´eriodicit´e totale de la fonction qui est en fait 1 pour−1< x < 1 et -1 pour 1< x <2 :

Z 1

−1cos(kix)cos(k¯ jx)d¯¯ x=δij et Z 1

−1cos(kix)d¯¯ x= 4(−1)ⁱ⁺¹ π(2i−1) lesA_i s’´ecrivent :

A_i = 4(−1)ⁱ⁺¹ π(2i−1)

Avec 10 modes (cf figure 2), au temps t=0, on retrouve `a peu pr`es la distribution uniforme (mˆeme si on met beaucoup plus de modes, on a toujours de petites oscillations...). On obtient au final

T¯= 4 πΣ_n>⁰

(−1)ⁿ⁻¹

2n−1 exp(−(2n−1)²π²

4 ¯t)cos((2n−1)πx/2).¯

2. Examinons l’´equation de la chaleur aux temps courts en posant : ˜t= ¯t/ε, l’edp devient ^∂_∂^T¯_˜t =ε^∂_∂¯²_x^T2^¯. Donc aux temps petits, cette edp se r´eduit `a <sup>∂</sup><sub>∂</sub><sup>T¯</sup><sub>˜t</sub> = 0, compte tenu de la condition initiale ( ¯T = 1) on en d´eduit que ¯T = 1 tout le temps. La temp´erature reste constante dans le mur. Or pr`es de la paroi en ¯x = −1, on a ¯T = 0, la temp´erature de trempe. On a une solution discontinue (cf la couche limite

dynamique : la vitesse glisse sur la paroi est l’´equivalent du saut de temp´erature que l’on constate ici).

Ce n’est donc pas possible (on a trop de conditions aux limites, le probl`eme est singulier) : il faut introduire une couche fine pr`es de la paroi ext´erieure(en x=±1).

On pose ¯x=−1 +ε_xx, et on travaille toujours avec le mˆ˜ eme dimensionnement pour la ture : ˜T(˜x,˜t) = (T −Text)/(T0−Text). D’o`u par substitution dans l’´equation de la chaleur :

∂T¯

∂t˜ =εε⁻²_x ∂²T¯

∂x˜² par moindre d´eg´en´erescenceε_x=√ ε.

Le probl`eme `a r´esoudre est tel que ˜T(˜x= 0,t) = 0 (c’est la condition que l’on a repˆ˜ ech´e) et il faut tenir compte du raccord asymptotique : la limite pour ¯T(¯x,˜t) lorsque ¯x tend vers -1 par valeurs sup´erieures est ´egale `a la limite de ˜T(˜x,˜t) lorsque ˜x tend vers l’infini :i.e.T(¯¯ x→ −1⁺,t) = ˜˜ T(˜x→ ∞,˜t)

Probl`eme final : ^∂_∂^T¯_˜t = ^∂_∂˜²_x^T2^¯, avec les conditions ˜T(˜x= 0,˜t) = 0, ˜T(˜x,0) = 1 et ˜T(∞,˜t) = 1.

Solution semblable (self similar) : on cherche par dilatations des variables de mani`ere `a rendre l’´equation diff´erentielle et ses conditions aux limites invariantes par un groupe particulier de dilata- tions : ˜x = ˆxx^∗,˜t= ˆtt^∗,T˜ = ˆT T^∗.donc ^∂_∂^Tˆ_ˆt = (t^∗x^∗−2)^∂_∂ˆ²_x^Tˆ2, ˆT(ˆx = 0,t) = 0,ˆ Tˆ(ˆx,0) = 1,. pour que le probl`eme ”chapeau” soit invariant, nous devons choisirx^∗2 =t^∗ etT^∗ = 1.

La solution est une fonction implicite des trois variables :

F(˜t,x,˜ T˜) = 0 ´equivaut `a ˜T =f(˜t,x),˜ par l’invariance on ´ecrit :F(ˆtt^∗,xxˆ ^∗,T Tˆ ^∗) = 0 ou encore

F(ˆtt^∗,xtˆ ^∗1/2,Tˆ) = 0.

Ce que l’on peut reformuler en faisant disparaˆıtrex^∗ du maximum d’arguments : F2(ˆtt∗,xˆtˆ^−1/2,Tˆ) = 0.

Ceci ´etant vrai pour toutt^∗, cet argument n’intervient pas, la solution est donc de la forme : ˆT =θ(η) avec η= ˆxˆt^−1/2.Substituons cette variable dans l’´equation de la chaleur :

∂Tˆ

∂ˆt =θ⁰(−1/2)η/ˆx= ∂²Tˆ

∂x² =θ⁰⁰xˆ⁻¹, soit le probl`eme final :

(−η/2) =θ⁰⁰/θ⁰, θ(0) = 0 etθ(∞) = 1.

En g´en´eral on r´esout num´eriquement, mais ici on peut continuer le calcul :Log(θ⁰) =−η²/4 compte tenu des conditions aux limites :

θ(η) = Rη/2

0 exp(−ξ²)dξ R∞

0 exp(−ξ²)dξ = 2

√π Z η/2

0

exp(−ξ²)dξ

car il est bien connu que^R₀^∞exp(−ξ²)dξ=√ π/2.

rappel, la fonction erreur, et la fonction erreur compl´ementaire sont d´efinies par : erf(x) = 2

√π Z x

0

exp(−ξ²)dξ eterf c(x) = 1−erf(x).

elle permet d’´ecrire la temp´erature sous la forme :

θ(η) =erf(η/2) On a pourerf c(η) une fonction qui d´ecroˆıt de 1 `a 0 (figure 4) :

On trouve ainsi le flux avec (_∂η^∂θ) = π^−1/2/(exp(−η²/4) `a la paroi en 0 : (<sub>∂η</sub><sup>∂</sup> θ)|<sub>0</sub> = 0.56. Tra¸cons erf(<sup>√x</sup><sub>t</sub>) `a diff´erentst, le flux `a la paroi en fonction du temps estπ<sup>−1/2</sup>t<sup>−1/2</sup>, il diminue au fur et `a mesure du refroidissement (figure 5).

Remarque, si on joue bien avec les variables de similitude on trouve comme ici η = ^√x

t, qui donne : ηθ⁰+ 2θ⁰⁰= 0. Si par malchance on choisitη =x²/t on trouve :−2θ⁰−ηθ⁰−4ηθ⁰⁰= 0 La solution en est bien entendu θ=erf((√

η)/2), mais elle est n’est pas simple `a voir ! ! ! Il n’y a pas de r`egle pr´ecise pour le choix de la bonne variable. De toutes fa¸cons, il faut `a la fin r´esoudre une ´equation diff´erentielle (les cas de solutions exactes, comme ici sont rarissimes).

3. Voir le poly§2.7

4. Observons ce qui se passe pour les temps court et les petites distances dans la solution compl`ete : posons ¯x=−1 +εˆx et ¯t=ε<sup>2</sup>ˆt et d´eveloppons ˆT `a εpetit (nfix´e) :

•cos((2n−1)πx/2) = 0+sin((2n−1)π/2)sin((2n−1)πεˆ¯ x/2) = (−1)ⁿsin((2n−1)πεˆx/2) = (−1)nsin(k_nx)ˆ

•exp(−(2n−1)^2π₄²¯t) =exp(−(2n−1)^2π₄²ε²ˆt) =exp(−k²_nˆt) on a pos´e kn= (2n−1)επ/2 et comme kn+1−kn=πε

T¯ = 2

πΣ_n>0exp(−k²_nˆt)sin(k_nx)(kˆ _n+1−k_n)k_n

La d´efinition de l’int´egrale de Rieman, en posant nmax= (kmax/π/ε+ 1)/2 (avec kmax >>1,ε <<1 et n_max>>1) permet d’identifier :

2 π

Z kmax

0

exp(−k²ˆt)sin(kˆx)dk/k= Σ^n=nmax_n=0 exp(−k_n²t)sin(kˆ _nx)(kˆ _n+1−k_n)/k_n

on fait tendreεvers 0 : ¯T → _π^2R₀^∞exp(−k²ˆt)sin(kˆx)dk/kor²_π^R₀^∞exp(−k²t)sin(kˆˆ x)dk/k=^R₀^η/2exp(−ξ²)dξ! ! ! Pour d´emontrer cette derni`ere ´egalit´e, il faut beaucoup d’astuce... il faut remarquer d’une part que :

∂

∂b Z ∞

0

exp(−a²k²)sin(2bk)k⁻¹dk= 2 Z ∞

0

exp(−a²k²)cos(2bk)dk= Z ∞

−∞

exp(−a2k2)cos(2bk)dk puis int´egrer ^R_−∞^∞ exp(−a²k²)cos(2bk)dk = ^R₀^∞exp(−a²k²+ 2ibk)dk = ^R_−∞^∞ a⁻¹exp(−a²(k−ib/a²)² − b²/a²)adk=√

πa⁻¹exp(−b²/a²) car il est bien connu que ^R₀^∞exp(−ξ²)dξ=

√π

2 . cqfd

Pour les Saints Thomas, on trace ici erf(η/2) et ¯T(−1 +η√

t, t) fonctions de η pour diff´erents t sur la figure 6. La courbe erreurerf(η/2) et la solution ¯T(−1 +η√

0.05,0.05) sont confondues.

Conclusion :

aux temps tr`es courts, il faut mieux vaut utiliser erf (les modes de Fourier s’ajoutent mal), ensuite, aux temps interm´ediaires on ´ecrit le d´eveloppement complet (en pratique les premiers termes). Aux temps longs : on ne garde que le premier terme de la s´erie ! ! ! ! (`a chacun d’adapter son crit`ere de passage d’une solution `a l’autre en fonction de la pr´ecision voulue).

Remarquons que l’on vient de jongler entre les s´eries de Fourier et la transform´ee de Fourier. Les exer- cices de conduction thermique pure se r´esolvent par de telles d´ecompositions. On utilise souvent aussi la transformation de Laplace. On obtient donc une grande vari´et´e de solutions ”exactes” sous formes de s´eries trigonom´etriques, ou hyperbolique ou de fonctions de Bessel (`a ce propos on peut refaire la mˆeme PC en axisym´etrique, avec un cylindre infini de rayon L) voire d’autres fonctions orthogonales... Ces solutions n´ecessitant une certaine gymnastique math´ematique, on a tendance `a les oublier et `a r´esoudre num´eriquement directement les ´equations...

Le fait que la solution erf soit une solution aux temps et distances courts est appel´e ”intermediate asymptotics” par G.I. Barenblatt (”Scaling, selfsimilarity, and intermediate asymptotics”). Le fait que cette solution soit le d´eveloppement de la solution compl`ete traduit le fait que la solution de similitude est de ”premi`ere esp`ece” (Barenblatt).

Pour aller plus loin, on peut r´esoudre le cas o`u le flux est donn´e, par les solutions semblables on obtient queT est de la forme √

tf(x/√

t), on obtient alors l’´equation du second ordre pour f...

f−ηf⁰−2f⁰⁰= 0, f⁰(0) = 1, f(∞) = 0,

qui `a mes yeux, ne s’int`egre pas `a vue, pourtant la solution est simple ! En effet l’astuce est de remarquer que ∂T /∂x v´erifie l’´equation de la chaleur : (∂t−∂_x²)(∂xT) = 0, avec ∂xT = 0 en t= 0 et ∂xT = 1 en x=±1. Donc∂xT =Erf c(x/2/√

t) ! ! !, T = 2(t

π)^1/2exp(−x²

t )−x erf c( x 2√

t).

Le dernier cas `a r´esoudre est celui o`u on se donne une condition mixte (avec un coefficient d’´echange) : (∂_t−∂_x²)T = 0, avec T = 1 en t = 0 et BiT ±∂_xT = 1 en x = ±1. la solution dimensionn´ee s’´ecrit alors : (T −T_ext)/(T₀−T_ext) =erf c( ^x

2

√

(αt))−exp(^hx_k + ^h_k^2αt2 )erf c(^√x2

αt) + ^h

√ αt

k )) On remarque que le fait d’introduire le coefficient d’´echange ”casse” la similitude. Pour obtenir la solution pr´ec´edente, il faut utiliser la m´ethode de transformation de Laplace...

On retiendra :

- la m´ethode de s´eparation des variables.

- la m´ethode de d´eveloppements asymptotiques raccord´es.

- la m´ethode de recherche de solutions semblables.

- l’existence de la fonction erreur.

Pour jouer un peu avec l’´equation de la chaleur, tester l’appliquette Java : Avec l’appliquette Java http ://www.lmm.jussieu.fr/~ lagree/SOURCES/Appliquette-JavaChal/guiChalomega v implicite/index.html, on trace la distribution de temp´erature le long d’une barre, y faire varier les coefficients k, les conditions aux limites...

CORRECTION PC1: trempe d'un mur!

1. Le problème à résoudre est l'équation de la chaleur avec sa condition initiale et ses conditions aux bornes:

!c_p("T

"t ) = k "²T

"x²; à t=0 T(x,t=0) =T₀ et pour t >0 T(x=±L,t)= T_ext

Posons, t = # t _

(# est inconnu) et x = L x _

, (L est donné par la géométrie) et T=T_ext+ (T₀-T_ext)T- (cette forme pour T est raisonnable puisque la température va varier de T₀ à T_ext). En fait le mur n'est pas infini, il est de hauteur h et de largeur l, bien entendu pour que le mur paraisse infini il faut que h>>L et l>>L. La jauge de temps pertinente est obtenue par adimensionnement et moindre dégénérescence, on voit de manière simple:

# = L²/a où a = k/!cp ne dépend que du matériau. Le problème sans dimension est donc:

"T_

"t _ = "²T_

"x _ 2

avec T_

=1 en t_

=0 et T_ =0 en t_

>0 et x_

=±1.

On cherche la solution sous forme de variables séparées. On obtient très simplement une combinaison des fonctions trigonométriques en espace et des exponentielles en temps:

T _

= exp(-k² t _

) cos(k x _

+ $k),

par symétrie par rapport au centre du milieu étudié la phase est nulle. La condition de bord s'écrit: cos(k) = 0, de solution: k_i=(2i-1)%/2, pour i>0, donc:

T _

= &i'1 A_i exp(-k_i² t _

) cos(k_i x _ ) Compte tenu de la condition initiale en temps: 1 = &i'1 Ai cos(ki x

_

), par les propriétés de l'analyse de Fourier:

_-1(^{1 cos(k}i x _

) cos(k_j x _

) dx _

= )_ij et _-1(^{1 cos(k}i x _

) dx _

= 4 (-1)ⁱ⁺¹

%(2 i -1)...

T

x figure 1: 10 modes pour reconstruire "1".

donc Ai = 4 (-1)ⁱ⁺¹

%(2 i -1). Avec 10 modes (cf figure 1), au temps t=0, on retrouve à peu près la

distribution uniforme (même si on met beaucoup plus de modes, on a toujours de petites oscillations...):

On obtient au final

PC1 -2-

Fig. 2 – 10 modes pour reconstruire ”1”.

T- = 4

!"n#1 (-1)^n-1

2n -1 exp (- (2n-1)²!² 4 t

_

) cos((2n-1)!x _ /2) T

_ ( x

_ , t

_ )

x _ figure 2: T

_ ( x

_ , t

_ ) pour t

_

=0.01 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4 et 0.5 (20 modes).

2. Examinons l'équation de la chaleur aux temps courts en posant : t~ = t _

/$.

%T _

%t~ = $ %²T _

%x_ 2

, donc aux temps petits, %T _

%t~ = 0, compte tenu de la condition initiale on en déduit que T

_

=1 tout le temps. La température reste constante dans le mur. Or près de la paroi en x

_

=-1, on a T _

=0, la température de trempe. On a une solution discontinue (cf la couche limite dynamique: la vitesse glisse sur la paroi est l'équivalent du saut de température que l'on constate ici). Ce n'est donc pas possible (on a trop de conditions aux limites, le problème est singulier), il faut introduire une couche fine près de la paroi extérieure (en x=±1).

On pose x _

=-1 + $_x x~, et on travaille toujours avec le même dimensionnement pour la ture:

T~(x~,t~) = (T-Text)/(T0-Text). D'où par substitution dans l'équation de la chaleur:

%T~

%t~ = $$x-2%²T~

%x~2,

par moindre dégénérescence $_x=&$. Le problème à résoudre est tel que T~(x~=0,t~)=0 (c'est la condition que l'on a repêché) et il faut tenir compte du raccord asymptotique:

la limite pour T _ (x

_ ,t~) lorsque x

_

tend vers -1 est égale à la limite de T~(x~,t~) lorsque x~ tend vers l'infini: i.e. T

_ (x

_

'(1,t~) = T~(x~'),t~).

Le problème final est donc:

%T~

%t~ = %²T~

%x~₂, T(x~=0,t~) = 0, T(),t~) = 1, T(x~,0) = 1.

Solution semblable (self similar): on cherche par dilatations des variables à rendre l'équation différentielle et ses conditions aux limites invariantes par un groupe particulier de dilatations:

x~ = x^x^*, t~ = t^t^*, T~ = T^ T^*. PC1 -3-

Fig. 3 – ¯T(¯x,¯t) pour ¯t= 0.01 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4 et 0.5 (avec 20 modes).

donc !T^

!t^ = (t^*/x^*2) !²T^

!x^2, T^ (x^=0,t^) = 0, T^(",t^)T^* = 1, T^ (x^,0)T^* = 1.

pour que le problème "chapeau" soit invariant, nous devons choisir x^*2=t^* et T^*=1. La solution est une fonction implicite des trois variables:

F(t~,x~, T~) = 0

par l'invariance on écrit; F(t^t^*,x^x^*, T^ T^*) = 0 ou encore F(t^t^*,x^t^*1/2, T^ ) = 0.

Ce que l'on peut reformuler en faisant disparaître x^* du maximum d'arguments:

F2(t^t^*,x^ t^^-1/2,T^ ) = 0.

Ceci étant vrai pour tout t^*, cet argument n'intervient pas, la solution est donc de la forme:

T^ = #($) avec $=x^ t^^-1/2. !T^

!t^ = #' (-1/2) $/x^ = !²T^

!x^2 = #'' x^-1, soit le problème final:

(-$/2) = #''/#', #(0)=0 et #(")=1.

En général on résout numériquement, mais ici on peut continuer le calcul: Log(#') = -$²/4 compte tenu des conditions aux limites:

#($)= ₀%

$/2 exp(-&²)d& / ₀%

"

exp(-&²)d& = 2 '( ₀%

$/2 exp(-&²)d&

car il est bien connu que ₀%^" exp(-&²)d& = '(

2.

rappel, la fonction erreur, et la fonction erreur complémentaire sont définies par:

erf(x)=2 '(₀%

x

exp(-&²)d& et erfc(x) = 1- erf(x).

elle permet d'écrire la température sous la forme:

#($) = erf($/2) On a pour erfc($) une fonction qui décroît de 1 à 0 (figure 3):

$ figure 3: tracé de erfc($)

On trouve ainsi le flux (!

!$#)= (^-1/2/(exp(- $²/4) à la paroi en 0: (!#

!$)₀ = 0.56. Traçons erf(x

2't) à différents t, le flux à la paroi en fonction du temps est (^-1/2t^-1/2, il diminue au fur et à mesure du refroidissement (figure 4).

PC1 -4-

Fig.4 – Trac´e de la fonction erf c(η).

t

x figure 4: tracé de T(x,t)=erf(x

2!t) pour t=0.5; 1; 1.5; 2; 2.5; 3.

x

t figure 5: tracé de erf(x

2!t) pour x=0.5; 1; 1.5; 2; 2.5; 3.

Remarque, si on joue bien avec les variables de similitude on trouve "=x/!t, qui donne :

"#' +2 #'' =0. Si par malchance on choisit "=x²/t on trouve: -2 #' - " #' - 4 " #''=0 La solution en est bien entendu #=erf(!"/2), mais elle est n'est pas simple à voir!!! Il n'y a pas de règle précise pour le choix de la bonne variable. De toutes façons, il faut à la fin résoudre une équation différentielle (les cas de solutions exactes, comme ici sont rarissimes).

3. Observons ce qui se passe pour les temps court et les petites distances dans la solution complète: posons x_

= -1 + $ x^ et t_

= $² t^. et développons T_

à $ petit (n fixé):

** cos((2n-1)%x _

/2) = 0 + sin((2n-1)%/2) sin((2n-1) % $ x^ /2) = (-1)ⁿ sin((2n-1)% $ x^/2)

= (-1)ⁿ sin(k_n x^)

** exp (- (2n-1)²%² 4 t

_

) = exp (- (2n-1)²%²

4 $² t^ ) = exp (- k_n² t^) on a posé kn = (2n-1) $% /2 et comme kn+1-kn= %$

T_ = 2

%&n>0 exp (- k_n² t^) sin(k_n x^) (kⁿ⁺¹ - k_n) kn PC1 -5-

Fig. 5 – Trac´e de ¯T(¯x,¯t) = erf( ^¯x

2√

t¯) pour ¯t = 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 et 3.0

t

x figure 4: tracé de T(x,t)=erf(x

2!t) pour t=0.5; 1; 1.5; 2; 2.5; 3.

x

t figure 5: tracé de erf(x

2!t) pour x=0.5; 1; 1.5; 2; 2.5; 3.

Remarque, si on joue bien avec les variables de similitude on trouve "=x/!t, qui donne :

"#' +2 #'' =0. Si par malchance on choisit "=x²/t on trouve: -2 #' - " #' - 4 " #''=0 La solution en est bien entendu #=erf(!"/2), mais elle est n'est pas simple à voir!!! Il n'y a pas de règle précise pour le choix de la bonne variable. De toutes façons, il faut à la fin résoudre une équation différentielle (les cas de solutions exactes, comme ici sont rarissimes).

3. Observons ce qui se passe pour les temps court et les petites distances dans la solution complète: posons x_

= -1 + $ x^ et t_

= $² t^. et développons T_

à $ petit (n fixé):

** cos((2n-1)%x _

/2) = 0 + sin((2n-1)%/2) sin((2n-1) % $ x^ /2) = (-1)ⁿ sin((2n-1)% $ x^/2)

= (-1)ⁿ sin(k_n x^)

** exp (- (2n-1)²%² 4 t

_

) = exp (- (2n-1)²%²

4 $² t^ ) = exp (- k_n² t^) on a posé kn = (2n-1) $% /2 et comme kn+1-kn= %$

T_ = 2

%&n>0 exp (- k_n² t^) sin(k_n x^) (kⁿ⁺¹ - k_n) k

Fig. 6 – Trac´e de ¯T(¯x,¯t) = erf( ^¯x

2√

¯t) pour ¯x = 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 et 3.0

La définition de l'intégrale de Rieman, en posant n_max=(k_max/!/"+1)/2 (avec k_max>>1,

"<<1 et n_max>>1) permet d'identifier:

2

!

#$

$% 0 k_max

exp(- k² t^) sin(k x^) dk k =

n=nmax

&

n=0

exp (- kn2 t^) sin(kn x^) (kⁿ⁺¹ - k_n) k_n on fait tendre " vers 0: T_

-> 2

! ₀'

(

exp(- k² t^) sin(k x^) dk k or 2

! ₀'

(

exp(- k² t^) sin(k x^) dk k = 2

)! ₀'

*/2 exp(-+²)d+ !!!

Pour démontrer cette dernière égalité, il faut beaucoup d'astuce... il faut remarquer d'une part que

, ,b ₀'

(

exp(-a² k²) sin(2bk) k^-1 dk = 2 ₀'

(

exp(-a² k²) cos(2bk) dk

= _-('

(

exp(-a² k²) cos(2bk) dk puis intégrer _-('

(

exp(-a² k²) cos(2bk) dk = ₀'

(

exp(-a ² k² + 2 i b k) dk = -('

(

a^-1 exp(-a² (k-i b/a²)² - b²/a²) a dk = )! a^-1 exp(- b²/a² ) car il est bien connu que ₀'

(

exp(-+² )d+=)!

2. cqfd

Pour les Saints Thomas, on trace ici erf(*/2) et T _

(-1+ * )t, t) fonctions de * pour différents t sur la figure 6. La courbe erreur erf(*/2) et la solution T

_

(-1+ * )0.05, 0.05) sont confondues.

Conclusion:

aux temps très courts, il faut mieux vaut utiliser erf (les modes de Fourier s'ajoutent mal), ensuite, aux temps intermédiaires on écrit le développement complet (en pratique les premiers termes). Aux temps longs: on ne garde que le premier terme de la série!!!! (à chacun d'adapter son critère de passage d'une solution à l'autre en fonction de la précision voulue).

* figure 6: erf(*/2) et T

_

(-1+ * )t, t) pour t=0.05 0.1 et 0.2 (20 modes).

PC1 -6-

Fig. 7 – Trac´e de erf(η/2) et ¯T(−1 +η√

¯t,¯t) pour t¯= 0.05 0.1 et 0.2 (20 modes).