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On considère la fonction f définie par :

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

PanaMaths Août 2014

On considère la fonction f définie par :

ln

:

xx

f x 6 x Etudier f.

Analyse

On commencera par donner le domaine de définition de la fonction f. Cette recherche conduit à l’utilisation du théorème de bijection et permet d’identifier une valeur interdite. L’étude aux bornes du domaine de définition permet d’identifier trois asymptotes …

Résolution

Nous commençons par déterminer l’ensemble de définition de la fonction f.

Le forme générale de f x

( )

impose x>0 (expressions comportant un exposant non

rationnel). L’exposant est alors parfaitement défini (le numérateur est défini pour x>0 et le dénominateur est défini pour x≠0).

On a donc

D

f =\*+ et, pour tout réel strictement positif :

( )

( )

ln 2

ln ln

ln x

x x

x x x x

f x =x =e × =e

On va donc désormais étudier les limites de la fonction f aux bornes de son domaine de définition, c'est-à-dire en 0 (à droite) et en +∞.

Etude en 0+ On a :

( ) ( )

composition

0 2

0

0 multiplication 2

2 0

0 0 0

0

lim ln

lim ln

lim lim ln

lim1

x x

x x

X x

x

x x

x

x X x

x x

>

>

→−∞

>

>

= −∞ ⎫ ⎫

⎪ ⇒ = +∞⎪

⎬ ⎪⎪

= +∞⎪⎭ ⎬ ⇒ = +∞

⎪⎪

= +∞⎪⎭

On en déduit que la courbe

C

f représentative de la fonction f admet pour asymptote verticale la droite d’équation x=0 (axe des ordonnées).

(2)

PanaMaths Août 2014

Etude en +∞

Par croissance comparée, on a immédiatement :

( )

ln 2

lim 0

x

x

→+∞ x = .

Redonnons les détails.

Pour tout réel x strictement positif, on a :

( ) ( )

2 2

( ( )

2

)

2

( ) (

2

)

2 2

2 2 2 2

ln 2 ln ln

ln ln ln

4 4

x x x

x x x

x x x x x x

⎛ ⎞

= = = = = ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠

On a alors : ln ln

lim lim 0

x X

x X

x X

→+∞ = →+∞ = .

Le résultat cherché en découle immédiatement.

On déduit de ce qui précède que la courbe

C

f représentative de la fonction f admet pour asymptote horizontale la droite d’équation y=0 (axe des abscisses).

Comme on a :

( )

( )

ln 2 ln

0

x x

x x

f x =x =e > du fait de l’exponentielle, on en déduit immédiatement que la courbe

C

f est située au-dessus de son asymptote horizontale pour tout x de

D

f .

La fonction f n’est clairement pas paire ou impaire puisque

D

f n’est pas symétrique. Aucune périodicité n’est à rechercher. On peut donc désormais étudier les variations de f.

La fonction

( )

lnx 2

x6 x est dérivable sur \*+ comme rapport de deux fonctions dérivables sur cet intervalle. La fonction exponentielle est dérivable sur \. On en déduit ainsi que la fonction f est dérivable sur \*+.

Pour tout x réel strictement positif, on a alors :

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

2

2

2 2

ln 2

2 ln

2

ln 2

2 1 ln ln 1

'

2 ln ln

ln 2 ln

x x

x x

x x

x x x

f x x e

x

x x

x e

x x

x e

× × × − ×

= ×

× −

= ×

= × − ×

Pour tout réel x strictement positif, on a :

( )ln 2

0

x

e x > et x2 >0. On en déduit que le signe de

( )

'

f x est donné par lnx× −

(

2 lnx

)

qui est un polynôme du second degré factorisé en lnx. Il s’annule pour lnx=0 (soit x=1) et lnx=2 (soit x=e2).

(3)

PanaMaths Août 2014

On en déduit immédiatement :

• Si x∈

] [

0 ; 1 ou xe2;+ ∞, f'

( )

x <0.

• Si x∈ ⎦⎤1;e2⎡⎣, f'

( )

x >0.

f' 1

( )

= f '

( )

e2 =0.

Finalement :

• La fonction f est strictement décroissante sur les intervalles

] ]

0 ; 1 et e2;+ ∞.

• La fonction f est strictement croissante sur l’intervalle ⎡⎣1 ;e2⎤⎦.

On a :

( )

( )

ln12 1 0

1 1

f =e =e = et

( )

( )

22 2

2 2 2

ln 2

2 4 1, 718

e

e e e

f e =e =e =e .

Nous regroupons les principaux résultats obtenus dans le graphique ci-dessous :

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