PanaMaths Août 2014
On considère la fonction f définie par :
ln
:
xxf x 6 x Etudier f.
Analyse
On commencera par donner le domaine de définition de la fonction f. Cette recherche conduit à l’utilisation du théorème de bijection et permet d’identifier une valeur interdite. L’étude aux bornes du domaine de définition permet d’identifier trois asymptotes …
Résolution
Nous commençons par déterminer l’ensemble de définition de la fonction f.
Le forme générale de f x
( )
impose x>0 (expressions comportant un exposant nonrationnel). L’exposant est alors parfaitement défini (le numérateur est défini pour x>0 et le dénominateur est défini pour x≠0).
On a donc
D
f =\*+ et, pour tout réel strictement positif :( )
( )ln 2
ln ln
ln x
x x
x x x x
f x =x =e × =e
On va donc désormais étudier les limites de la fonction f aux bornes de son domaine de définition, c'est-à-dire en 0 (à droite) et en +∞.
Etude en 0+ On a :
( ) ( )
composition
0 2
0
0 multiplication 2
2 0
0 0 0
0
lim ln
lim ln
lim lim ln
lim1
x x
x x
X x
x
x x
x
x X x
x x
→>
→>
→−∞ →
>
→>
= −∞ ⎫ ⎫
⎪ ⇒ = +∞⎪
⎬ ⎪⎪
= +∞⎪⎭ ⎬ ⇒ = +∞
⎪⎪
= +∞⎪⎭
On en déduit que la courbe
C
f représentative de la fonction f admet pour asymptote verticale la droite d’équation x=0 (axe des ordonnées).PanaMaths Août 2014
Etude en +∞
Par croissance comparée, on a immédiatement :
( )
ln 2lim 0
x
x
→+∞ x = .
Redonnons les détails.
Pour tout réel x strictement positif, on a :
( ) ( )
2 2( ( )2 )
2 ( ) (
2 )
2 2
2 2 2 2
ln 2 ln ln
ln ln ln
4 4
x x x
x x x
x x x x x x
⎛ ⎞
= = = = = ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠
On a alors : ln ln
lim lim 0
x X
x X
x X
→+∞ = →+∞ = .
Le résultat cherché en découle immédiatement.
On déduit de ce qui précède que la courbe
C
f représentative de la fonction f admet pour asymptote horizontale la droite d’équation y=0 (axe des abscisses).Comme on a :
( )
( )ln 2 ln
0
x x
x x
f x =x =e > du fait de l’exponentielle, on en déduit immédiatement que la courbe
C
f est située au-dessus de son asymptote horizontale pour tout x deD
f .La fonction f n’est clairement pas paire ou impaire puisque
D
f n’est pas symétrique. Aucune périodicité n’est à rechercher. On peut donc désormais étudier les variations de f.La fonction
( )
lnx 2x6 x est dérivable sur \*+ comme rapport de deux fonctions dérivables sur cet intervalle. La fonction exponentielle est dérivable sur \. On en déduit ainsi que la fonction f est dérivable sur \*+.
Pour tout x réel strictement positif, on a alors :
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )2
2
2 2
ln 2
2 ln
2
ln 2
2 1 ln ln 1
'
2 ln ln
ln 2 ln
x x
x x
x x
x x x
f x x e
x
x x
x e
x x
x e
× × × − ×
= ×
× −
= ×
= × − ×
Pour tout réel x strictement positif, on a :
( )ln 2
0
x
e x > et x2 >0. On en déduit que le signe de
( )
'
f x est donné par lnx× −
(
2 lnx)
qui est un polynôme du second degré factorisé en lnx. Il s’annule pour lnx=0 (soit x=1) et lnx=2 (soit x=e2).PanaMaths Août 2014
On en déduit immédiatement :
• Si x∈
] [
0 ; 1 ou x∈⎤⎦e2;+ ∞⎡⎣, f'( )
x <0.• Si x∈ ⎦⎤1;e2⎡⎣, f'
( )
x >0.• f' 1
( )
= f '( )
e2 =0.Finalement :
• La fonction f est strictement décroissante sur les intervalles
] ]
0 ; 1 et ⎡⎣e2;+ ∞⎡⎣.• La fonction f est strictement croissante sur l’intervalle ⎡⎣1 ;e2⎤⎦.
On a :
( )
( )ln12 1 0
1 1
f =e =e = et
( )
( )22 2
2 2 2
ln 2
2 4 1, 718
e
e e e
f e =e =e =e − .
Nous regroupons les principaux résultats obtenus dans le graphique ci-dessous :
