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On considère la fonction f définie par :

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

PanaMaths Décembre 2011

On considère la fonction f définie par :

( )

2

ln x

f x x

= + x

Etudier les branches infinies de la fonction f.

Analyse

Une fonction simple, somme de deux fonctions bien connues ! L’étude de la branche infinie en +∞ peut se faire de façon classique mais on peut (doit ?) procéder plus directement en tenant compte de ln

lim 0

x

x

→+∞ x = .

Résolution

La présence du logarithme népérien entraîne que la fonction f est définie sur \*+.

Etude en 0

On a :

0 0

lim ln

x x

x

>

= −∞ et

0 0

lim1

x

x> x= +∞. On a donc (produit) :

0 0

limln

x x

x

x

>

= −∞.

Par ailleurs : 2

0 0

lim 0

x x

x

>

= . On en déduit finalement (somme) : 2

( )

0 0

0 0

lim ln lim

x x

x x

x x f x

x

> >

⎛ + ⎞= = −∞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

On en déduit ainsi que la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote verticale d’équation : x=0.

Etude en +∞

On a classiquement (croissance comparée) : ln

lim 0

x

x

→+∞ x = . Comme lim 2

x x

→+∞ = +∞, on a (somme) : lim 2 ln lim

( )

x x

x x f x

→+∞ x →+∞

⎛ + ⎞= = +∞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

Comme xlim

(

f x

( )

x2

)

xlim lnx 0

→+∞ − = →+∞ x = . On peut directement conclure que la courbe représentative de la fonction f admet pour asymptote la parabole d’équation y=x2.

(2)

PanaMaths Décembre 2011

Si x

] [

0 ; 1 , on a : lnx 0

x < et la courbe représentative de la fonction f est située sous son asymptote.

Si x>1, on a : ln x 0

x > et la courbe représentative de la fonction f est située au-dessus de son asymptote.

Pour x=1, la courbe représentative de la fonction f coupe son asymptote.

Résultat final

La courbe représentative de la fonction 2 ln

: x

f x x

+ x

6 admet :

• Une asymptote verticale d’équation x=0.

• Au voisinage de +∞ une parabole asymptote d’équation y=x2.

Si x

] [

0 ; 1 (respectivement x>1 et x=1), et la courbe représentative de la fonction f est située sous (respectivement « est située au-dessus » et « coupe ») son asymptote.

Complément

A titre de premier complément, soulignons que le théorème de la bijection peut être ici appliqué pour établir que la fonction f est bijective de \*+ dans \. En particulier, la fonction f s’annule pour une unique valeur α de x qui vérifie donc 2 ln

α 0

α + α = , soit :

3 ln 0

α + α = . Comme α >0, il vient : lnα = −α3<0 et on peut affirmer, sans le moindre calcul que l’on a : α<1 (cette conclusion s’impose aussi du fait que :

( )

1 1 0 1 0

f = + = >1 ).

A titre de deuxième complément, remarquons que la fonction carrée est strictement convexe sur \ tandis que la fonction lnx

x6 x est strictement concave sur \*+. Quelques calculs simples nous donnent facilement : f'

( )

x 2x 1 ln2 x

x

= + − puis

( )

3

( )

3 3

2 3 2 ln

'' x x x

f x

x x

− + ϕ

= = .

On montre facilement que la fonction ϕ s’annule pour une unique valeur β 1,116 et qu’elle prend des valeurs strictement négatives (respectivement « strictement positives ») pour

0< <x β (respectivement « x>β »). Ainsi, la fonction f est strictement concave sur

]

0 ;β

]

et strictement convexe sur

[

β;+ ∞

[

. En x=β, la courbe représentative de la fonction f admet un point d’inflexion et on a :

( )

3

f β 2

= β . On pourra même vérifier que la tangente en ce point admet pour équation :

3 3

2

6 1 2 3

y β2 x β

β β

− −

= + .

(3)

PanaMaths Décembre 2011

A titre de dernier complément, nous fournissons ci-après une représentation graphique de la courbe représentative de la fonction f (en bleu), de sa parabole asymptote (en vert) et de la tangente (en noir) au point d’inflexion I.

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