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On considère la fonction f définie sur

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Liban – Mai 2012 – Série ES – Exercice 1

ère

partie : Etude d’une fonction.

On considère la fonction f définie sur

0 ; +∞

par f x ( ) = xe

x

− − e

x

8 .

1. En écrivant f x ( ) = e x

x

( ) − − 1 8 , déterminer la limite de f en +∞ . 2. Montrer que f x ' ( ) = xe

x

où ' f désigne la fonction dérivée de f sur

0 ;

+∞

.

3. Dresser le tableau de variation complet de f sur 0 ;

+∞

.

4. a) Montrer que l’équation f x ( ) = 0 admet sur 0 ;

+∞

une unique solution a.

b) Montrer que 2,040 < < a 2,041 .

c) En utilisant les questions précédentes, déduire le signe de f x ( )

en fonction des valeurs de x sur 0 ;

+∞

.

5. a) Montrer que la fonction g définie sur 0 ;

+∞

par

( )

x

2

x

8

g x = x eex est une primitive de f sur 0 ;

+∞

. b) Calculer la valeur exacte de ∫

35

f x dx ( ) .

2

ème

partie : Application à une situation économique

Une entreprise fabrique x milliers d’objets avec x appartenant à 0 ; 5

. La fonction f de la 1

ère

partie modélise les bénéfices ou les pertes de l’entreprise en centaine d’euros.

Pour une quantité x donnée, si f x ( ) est positif, l’entreprise réalise un bénéfice, et si f x ( ) est négatif, l’entreprise subit une perte.

En utilisant les résultats de la 1

ère

partie, répondre aux questions suivantes en justifiant :

1. A partir de combien d’objets produits, l’entreprise commence-t-elle

(2)

2. L’entreprise pense produire régulièrement entre 3 et 5 milliers d’objets.

Déterminer la valeur moyenne du bénéfice sur 0 ; 5

(On donnera

le résultat arrondi à l’euro près).

(3)

Analyse

Une structure d’exercice classique : une première partie consacrée à l’étude du modèle (ici celui du bénéfice réalisé en fonction de la production) et, dans un deuxième temps, une exploitation de cette étude (ici, pour évaluer un bénéfice moyen).

Résolution

1

ère

partie : Etude d’une fonction Question 1.

On a : f x

( )

=ex

(

x− −1

)

8.

Or : lim x

x e

→+∞ = +∞ et lim

(

1

)

lim

x x x x

→+∞ − = →+∞ = +∞. On en déduit (produit) : lim x

(

1

)

x e x

→+∞⎡⎣ − ⎤⎦= +∞ puis, immédiatement : lim

( )

x f x

→+∞ = +∞.

( )

lim

x f x

→+∞ = +∞

Question 2.

Pour tout x réel positif, on a :

( )

' 1 x

f x = ×e + × −x ex ex + = ×0 x ex =x ex

( )

' x

f x =x e

Question 3.

On a immédiatement :

f' 0

( )

= × = × =0 e0 0 1 0 ;

• Pour tout x réel strictement positif, f '

( )

x >0 comme produit de deux réels strictement positifs.

On déduit immédiatement de ce qui précède que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle

[

0 ;+ ∞

[

.

Comme on a calculé la limite de la fonction f en +∞, il nous reste à évaluer f

( )

0 .

On a :

(4)

Forts des éléments précédents, nous pouvons dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle

[

0 ;+ ∞

[

:

Question 4.a.

La fonction f est continue sur l’intervalle

[

0 ;+ ∞

[

puisqu’elle y est dérivable.

A la question précédente, nous avons également vu qu’elle y était strictement croissante.

On a par ailleurs : f

( )

0 = −9 et lim

( )

x f x

→+∞ = +∞.

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, la fonction f prend une fois et une seule toutes les valeurs de l’intervalle

[

− + ∞9 ;

[

.

On en déduit :

L’équation f x

( )

=0 admet une solution unique a sur l’intervalle

[

0 ;+ ∞

[

.

Question 4.b.

On a :

( )

( )

3

2

2, 040 1, 77 10 0 2, 041 1, 4 10 0 f

f

− × <

× >

D’où, immédiatement :

2, 040< <a 2, 041

x 0

f

+

(5)

Question 4.c.

Comme la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle

[

0 ;+ ∞

[

et que l’on a

( )

0

f a = , il vient immédiatement :

• Pour tout x dans l’intervalle

[

0 ;a

[

, f x

( )

<0.

f a

( )

=0.

• Pour tout x dans l’intervalle

]

a;+ ∞

[

, f x

( )

>0.

Question 5.a.

La fonction g est dérivable sur l’intervalle

[

0 ;+ ∞

[

comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle. Pour tout réel x positif, on a :

( ) ( )

' 1 x x 2 x 8 1 x x 2 x 8 x x 8

g x = × + × −e x e e − × =e +x ee − =x e − − =e f x

On déduit de ce qui précède :

La fonction g définie sur l’intervalle

[

0 ;+ ∞

[

par g x

( )

=x ex2ex8x

est une primitive de la fonction f sur cet intervalle.

Question 5.b.

On a :

( ) ( )

( )

( )

5 5

3 3

5 3

5 5 3 3

5 3

5 3

2 8

5 2 8 5 3 2 8 3

3 40 24

3 16

x x

f x dx g x

x e e x

e e e e

e e

e e

= ⎡⎣ ⎤⎦

⎡ ⎤

=⎣ − − ⎦

= × − × − × − × − × − ×

= − − −

= − −

( )

5 5 3

3 f x dx=3e − −e 16

(6)

2

ème

partie : Application à une situation économique Question 1.

A la question 4.c. de la première partie, nous avons établi que la fonction f prenait des valeurs strictement positives pour tout réel x strictement supérieur à a. Par ailleurs, à la question 4.b.

de cette même partie, nous avons obtenu l’encadrement : 2, 040< <a 2, 041. Puisque la variable x mesure une quantité en milliers d’objets, on en déduit immédiatement :

L’entreprise dégagera des bénéfices à partir de 2041 objets produits.

Question 2.

Pour obtenir la valeur moyenne du bénéfice pour une production comprise entre 3 et 5 milliers d’objets, on commence par calculer la valeur moyenne m de la fonction f sur l’intervalle

[ ]

3 ; 5 . En utilisant le résultat obtenu à la question 5.b. de la première partie, il vient :

( ) ( )

5 5 3

3

1 1

3 16

5 3 2

m= f x dx= e − −e

Puisque f x

( )

correspond à des centaines d’euros et que le résultat est demandé à l’euro près, nous donnons une valeur approchée de m arrondie à 102 :

(

5 3

)

1 3 16 204, 58

m=2 e − −e On en conclut alors :

Pour une production comprise entre 3 et 5 milliers d’objets, le bénéfice moyen réalisé par l’entreprise s’élève à 20 458 euros (valeur arrondie à l’euro).

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