On considère la fonction f définie sur \ par :

(1)

PanaMaths Avril 2011

On considère la fonction f définie sur \ par :

( ) ¹

: 1

x x

f x f x e e

= + − 6

Soit a un réel strictement positif.

1. Calculer

^a

( )

a

f x dx

−

∫ ^.

(on factorisera le numérateur et le dénominateur de f par

²

x

e ) 2. Montrer que la fonction f est impaire et retrouver, par des

considérations géométriques, le résultat de la question 1.

Analyse

Dans cet exercice, on calcule une intégrale en utilisant classiquement une primitive de la fonction à intégrer (question 1.) où en utilisant une caractéristique fondamentale de la fonction (elle est impaire) et les considérations géométriques associées (question 2.).

Résolution

Question 1.

Suivons l’indication de l’énoncé :

( )

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

1 1 2

1 2

x x x x x

x x

x

x x x x

e e e e e

e e e

f x e

e e e e

e e e

− −

−

− −

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− ⎝ ⎠ − ⎝ ⎠

= = = =

+ ⎛⎜ + ⎞⎟ + +

⎝ ⎠

En posant : ^{u x}

( )

⁼^e²^x ⁺^e⁻²^x, on constate que l’on a simplement : ^'

( )

¹ ² ²

2

x x

u x ⎛e e⁻ ⎞

= ⎜ + ⎟

⎝ ⎠^{puis :}

( ) ( ) ( )

2u x' f x = u x

(2)

PanaMaths Avril 2011

On a facilement : , ² 0

x

x e

∀ ∈\ > et ² 0

x

e⁻ > . Il vient donc : ^{∀ ∈}^x ^\^,^{u x}

( )

^>⁰^{puis :}

( ) ( )

( ) ( ( ) )

( ( ) ) ( ^{( )} ) _{( )} ^{( )}

2 2

' '

2 2 2 ln

2 ln ln 2 ln

2 ln 2 ln1 2 0

0

a a a

a a

a a a

a a

u x u x

f x dx dx dx u x

u x u x

u a u a u a

u a e e

e e

− − − −

−

⎡ ⎤

= = = ⎣ ⎦

⎡ ⎤

= ⎣ − − ⎦= −

= + = = ×

+

=

∫ ∫ ∫

Finalement :

( )

⁰

a

f x dx

−

∫

=

Question 2.

Notons, dans un premier temps que l’exponentielle et définie sur \ et rappelons que l’on a , ^x 0

x e

∀ ∈\ > et donc ∀ ∈x \,e^x+ >1 0. Ainsi, la fonction f est définie sur \. Par ailleurs, on a :

( ) ( )

( ) ^{( )}

1 1 1 1

x x

x x x

x x x x x

e e

e e e

f x f x

e e e e e

− −

− − − −

− = = = = − = −

+ + + +

Il résulte de ce qui précède que la fonction f est impaire sur \. On a aussi : ∀ ∈x \,e^x− > ⇔1 0 e^x > ⇔ >1 x 0.

On a :

( )

⁰

( ) ( )

0

a a

f x dx f x dx f x dx

− −

= +

∫ ∫ ∫

^.

Or, sur l’intervalle

[

^{0 ;}^a

]

, la fonction f prend des valeurs positives. On en déduit que l’intégrale

( )

0 a

f x dx

∫

est égale à l’aire du domaine limité par l’axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction f et les deux droites d’équations x=0 et x=a.

Sur l’intervalle

[

⁻^a^{; 0}

]

, la fonction f prend des valeurs négatives. On en déduit que l’intégrale

0

( )

a

f x dx

−

∫

est égale à l’opposée de l’aire du domaine limité par l’axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction f et les deux droites d’équations x=0 et x= −a.

(3)

PanaM

La fonc ), les de l’origine nullité d

Résul

Maths

ction f étant eux domaine

e (voir la fig de l’intégral

ltat final

P

impaire sur es décrits pr gure ci-aprè le.

l

Pour la fonc

r \ (et don récédemme ès) et admet

ction f défin

∀ ∈a \

nc, en particu nt sont sym ttent ainsi la

nie sur \ p

( )

*,

a

a + f x

−

∫

\

ulier, sur l’i métriques l’u a même aire

ar ^{f x}

( )

^e

= e

)

^dx⁼⁰

intervalle sy un de l’autre e. On en déd

1 1

x x

e e

−

+ , on a

Avr

ymétrique

[

e par rappor duit finalem

:

ril 2011

]

;

−a a rt à ment la

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