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On considère la fonction f définie sur par :

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Nouvelle-Calédonie – Novembre 2009 – Série S – Exercice Le plan est muni d’un repère orthonormal O; ,

i j

⎝ ⎠

.

On considère la fonction f définie sur par :

( )

2 x

f x = x e

On note ' f la fonction dérivée de f.

1. a. Déterminer les limites de la fonction f en −∞ et en +∞ . b. Calculer f x ' ( ) et déterminer le tableau de variations de f.

c. En déduire le signe de f sur .

2. Pour tout nombre réel a, on considère l’intégrale ( ) ( )

0 a

I a = ∫ f x dx . a. Donner selon les valeurs de a le signe de I a ( ) .

b. A l’aide d’une double intégration par parties montrer que pour tout nombre réel a :

( ) 2 2

a

1 a 2

2

I a e

a

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − + +

c. En déduire pour tout nombre réel a :

( )

2

1 1

2 2

a a

a

e I a e

a

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − + +

3. Soient g et h les fonctions définies sur par g x ( ) = e

x

et ( ) 1 x 2

2

h x = + + x .

On note C la courbe représentative de g et P celle de h.

a. Montrer que les courbes C et P ont la même tangente au point d’abscisse 0.

b. Déduire des questions précédentes la position relative des

courbes C et P .

(2)

Analyse

Une intégrale pour étudier la position relative de deux courbes … voilà qui n’est pas banal et donne lieu à divers calculs (étude de fonction, calcul intégral via une double intégration par parties, etc.). Si la double intégration par parties correspond à la question la plus « technique » du sujet, le reste est finalement très proche du cours.

Résolution

Question 1.a.

On a d’abord : lim 2 lim 2

x x x x

→+∞ = →−∞ = +∞. En suite : comme lim x 0

x e +

→−∞ = , il vient : 1

lim x lim x

x e x

e

→−∞ = →−∞ = +∞. Par produit, on en déduit alors immédiatement : lim

( )

lim 2 x

x f x x x e

→−∞ = →−∞ = +∞.

Comme : 1

lim x lim x 0

x e x

e

→+∞ = →+∞ = , nous avons affaire, en +∞, à une forme indéterminée du type

« 0×∞ ».

Par croissance comparée, on a immédiatement : lim

( )

lim 2 x lim 2x 0

x x x

f x x e x

e

→+∞ = →+∞ = →+∞ = .

( )

lim

x f x

→−∞ = +∞ et lim

( )

0

x f x

→+∞ =

Question 1.b.

La fonction f est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle et on a, pour tout x réel :

( )

2

( )

' 2 x x 2 x

f x = xex e =xx e

Comme on a : ∀ ∈x ,ex >0, le signe de f'

( )

x est celui du produit : x

(

2x

)

qui est un polynôme du second degré factorisé s’annulant en 0 et 2. On a donc :

• Pour tout x réel dans

]

−∞; 0

[ ]

2 ;+ ∞

[

, on a x

(

2x

)

<0 et donc f '

( )

x >0.

• Pour tout x réel dans

] [

0 ; 2 , on a x

(

2x

)

>0 et donc f '

( )

x <0.

( ) ( )

(3)

Par ailleurs : f

( )

0 =02×e0 =0 et f

( )

2 22 e 2 42

e

= × = .

Les éléments précédents et les limites obtenues à la question 1.a. nous permettent de dresser le tableau de variations de la fonction f :

Question 1.c.

On a : ∀ ∈x ,x2 ≥0 (et x2 ne s’annule que pour x=0) et ex >0. On en déduit immédiatement : ∀ ∈x , f x

( )

0 (et f x

( )

= ⇔ =0 x 0).

L’étude menée à la question précédente confirme ce résultat :

• Sur l’intervalle

]

−∞; 0

]

la fonction f est strictement décroissante avec f

( )

0 =0. On

en déduit immédiatement : ∀ ∈ −∞x

]

; 0 ,

] ( )

f x f

( )

0 =0.

• Sur l’intervalle

[

0 ; 2

]

la fonction f est strictement croissante avec f

( )

0 =0. On en

déduit immédiatement : ∀ ∈x

[

0 ; 2 ,

] ( )

f x f

( )

0 =0.

• Sur l’intervalle

[

2 ;+ ∞

[

, la fonction f est strictement décroissante avec lim

( )

0

x f x

→+∞ = .

On en déduit cette fois : ∀ ∈x

[

2 ;+ ∞

[ ( )

, f x >0 (raisonnement classique par l’absurde : s’il existait x0 dans

]

2 ;+ ∞

[

avec f x

( )

0 ≤0 alors, du fait de la décroissance stricte de f, il existerait x1>x0 tel que f x

( )

1 <0 et on aurait

]

1;

[

,

( ) ( )

1 0

x x f x f x

∀ ∈ + ∞ ≤ < et donc : lim

( ) ( )

1 0

x f x f x

→+∞ ≤ < , ce qui contredit

( )

lim 0

x f x

→+∞ = ).

( )

, 0

x f x

∀ ∈ ≥ et f x

( )

= ⇔ =0 x 0.

x

( )

' f x

f

+∞

+∞

0

0 2

0

2

4 e

−∞

0 0

– + –

(4)

Question 2.a.

On a :

( ) ( )

0 a

I a =

f x dx. Ainsi, la fonction I est la primitive de la fonction f s’annulant en 0.

Comme vu précédemment, la fonction f est positive sur . Le signe de I a

( )

dépend donc de la comparaison des bornes de cette intégrale, c'est-à-dire des réels 0 et a :

• Si a>0, I a

( )

est l’intégrale sur l’intervalle

[

0 ;a

]

d’une fonction positive et on a, par définition : I a

( )

0.

• Si a=0 :

( )

0

( )

0

0 0

I =

f x dx= .

• Si a<0,

( ) ( )

0

( )

0 a

a

I a =

f x dx= −

f x dx. 0

( )

a

f x dx

est l’intégrale sur l’intervalle

[

a; 0

]

d’une fonction positive et on a : 0

( )

0

a

f x dx

et donc : I a

( )

0.

• Si a>0, I a

( )

0.

• Si a=0 : I a

( )

=0.

• Si a<0, I a

( )

0.

Question 2.b.

Soit a un réel quelconque fixé.

Soit u la fonction définie sur par u x

( )

=x2. Elle y est dérivable en tant que fonction polynôme et on a : ∀ ∈x , 'u x

( )

=2x qui est continue sur en tant que fonction polynôme.

Soit la fonction x ex, continue sur comme composée de deux fonctions continues sur cet intervalle. La fonction xex en est une primitive sur .

Les éléments précédents nous permettent de procéder à une intégration par parties :

( ) ( )

( )

( )

0

2 2

0

0 0

2 2 2 0

0

0 0

2

2

2 0 2

2

a

a a

x x a x

a a

x a x a x

a

a x

I a f x dx

x e dx x e x e dx

x e xe dx a e e xe dx

a e xe dx

=

⎡ ⎤

= = −⎣ ⎦ − −

⎡ ⎤

= −⎣ ⎦ + = − − − +

= − +

∫ ∫

∫ ∫

(5)

L’intégrale

0 a

xe dxx

se calcule également en procédant à une intégration par parties mais en considérant cette fois pour la fonction u la fonction définie sur par u x

( )

=x. Elle y est bien sûr dérivable de dérivée la fonction constante, donc continue sur , prenant la valeur 1.

L’intégration par parties donne alors :

( )

( )

( )

0

0 0

0 0

0 0

0

0 0

1

0

1

a a

x x a x

a a

x a x a x

a a

a x a x a a

a a

x e dx x e e dx

x e e dx a e e e dx

a e e a e e a e e e

a e e

⎡ ⎤

= −⎣ ⎦ − × −

⎡ ⎤

= −⎣ ⎦ + = − − − +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= − + −⎣ ⎦ = − −⎣ ⎦ = − − −

= − − +

∫ ∫

∫ ∫

Il vient alors :

( )

( )

2

0 2

2

2

2 1

2 2 1

2

a

a x

a a a

a

I a a e xe dx

a e a e e

e a a

= − +

= − + − − +

⎛ ⎞

= − ⎜ + + ⎟

⎝ ⎠

( )

2

, 2 2 1

2

a a

a I a ea

∀ ∈ = − ⎜ + + ⎟

⎝ ⎠

Question 2.c.

A partir du résultat de la question précédente, on a immédiatement :

( ) ( )

( )

2

2

2

, 2 2 1

2

,1 1 1

2 2

,1 1

2 2

a

a

a a

a I a e a a

a I a e a a

a e I a e a a

⎛ ⎞

∀ ∈ = − ⎜ + + ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

⇔ ∀ ∈ = − ⎜ + + ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

⇔ ∀ ∈ = − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )

2

,1 1

2 2

a a a

a e I a ea

∀ ∈ = − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

(6)

Question 3.a.

Soulignons d’abord que les fonctions g et h sont dérivables sur (fonction exponentielle et fonction polynôme). On a : ∀ ∈x ,g x'

( )

=ex et '

( )

0 1 2 1

2

f x = + + x= +x.

On a : g

( )

0 =e0=1 et

( )

0 1 0 02 1

h = + + 2 = .

On en déduit immédiatement que les courbes représentatives

C

et

P

, des fonctions g et h respectivement, passent par le point

( )

0 ; 1 .

Par ailleurs : g' 0

( )

=e0 =1 et f' 0

( )

= + =1 0 1.

Ainsi, les tangentes aux courbes représentatives

C

et

P

au point

( )

0 ; 1 admettent le même coefficient directeur. On en déduit qu’elle sont confondues.

Les courbes représentatives

C

et

P

admettent une tangente commune au point d’abscisse 0.

Question 3.b.

A la question 2.c. nous avons obtenu : ,1

( )

1 2

( ) ( )

2 2

a a a

a e I a eag a h a

∀ ∈ = − + +⎜ ⎟= −

⎝ ⎠ .

Comme ,∀ ∈a ea >0, le signe de la différence g a

( ) ( )

h a est identique à celui de I a

( )

.

Or à la question 2.a. nous avons obtenu :

• Si a>0, I a

( )

0.

• Si a=0 : I a

( )

=0.

• Si a<0, I a

( )

0.

On en déduit immédiatement :

• Si a>0, I a

( )

0, donc g a

( ) ( )

h a 0 et la courbe

C

est située au-dessus de la courbe

P

.

• Si a=0 : I a

( )

=0, soit g a

( ) ( )

h a =0 et les courbes

C

et

P

se coupent (plus précisément, d’après la question précédente, elles sont tangentes l’une à l’autre).

• Si a<0, I a

( )

0, donc g a

( ) ( )

h a 0 et la courbe

C

est située en dessous de la courbe

P

.

• Si a>0 : la courbe

C

est située au-dessus de la courbe

P

.

• Si a=0 : les courbes

C

et

P

se coupent en étant tangentes l’une à l’autre.

• Si a<0 : la courbe

C

est située en dessous de la courbe

P

.

(7)

A titre de complément, nous fournissons ci-dessous les courbes représentatives des fonctions g et h ainsi que la tangente en

( )

0 ; 1 .

x

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5 A

g(x) =ex

h(x) = 1 +x+ x 2 2

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