On considère la fonction f définie sur R

Seconde Exercices fonctions homographiques 2010-2011

EXERCICE 1 :

On considère la fonction f définie sur R

par f(x) = 3x + 1 x .

1. Prouver que f (x) peut s’écrire, pour tout x 6= 0, sous la forme 3 + b

x où b est un nombre réel à déterminer.

2. Démontrer que cette fonction est décroissante sur ] − ∞; 0[ et sur l’intervalle ]0; +∞[.

EXERCICE 2 :

Dans la ligne de saisie du logiciel Geogebra, on tapr l’expression suivante pour définir une fonction f : f (x) = Si[x < 0, x

+ 4x − 1, (−2x − 3)/(x + 3)]

1. Calculer les images par f des réels −2 ; −1 ; 0 ; 1 et 2.

2. Écrire un algorithme permettant de calculer l’image par f d’un réel quelconque. Vérifier les résultats de la question 1. en faisant fonctionner cet algorithme sur un logiciel de programmation.

3. La courbe obtenue avec le logiciel Geogebra est donnée ci-dessous :

0 1

1 C

(a) Quels sont les réels α et β tels que : x

− 4x + 1 = (x − α)

+ β ? En déduire les variations de f sur chacun des intervalles ] − ∞; −2] et [−2; 0].

(b) Déterminer deux réels a et b tels que −2x − 3

x + 3 = a + b

x + 3 pour tout x 6= −3.

(c) Montrer que f est décroissante sur [0; +∞[.

(d) Établir le tableau de variations de f .

4. Question ouverte : montrer que − est le minimum de f sur R . EXERCICE 3 :

Soit la fonction f définie par f (x) = 3 + x − x

+ 2

x + 1

Elle est représentée ci-contre sur une partie de son ensemble de définition.

1. Quel est l’ensemble de définition de la fonction f ? (justifier) Comment cela se traduit-il sur la représentation graphique ?

2. Par lecture graphique, dire quel nombre ne semble pas avoir d’antécédent par la fonction f.

3. Montrer que f (x) peut s’écrire f(x) = 4x + 1 x + 1 , puis prouver par le calcul que le nombre trouvé à la question précédente n’a pas d’antécédent.

0 1 1 C

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