Déterminer une primitive de la fonction f définie sur \ par :

PanaMaths Novembre 2005

Déterminer une primitive de la fonction f définie sur \ par :

( )

1 f x x

= x

+

Analyse

La fonction f est, à un facteur multiplicatif près, le rapport de la dérivée d’une fonction et de sa racine carrée …

Résolution

Considérons la fonction polynôme u définie sur \ par :

: 2 1

u x6x +

En tant que fonction polynôme, elle est dérivable sur \ et sa dérivée 'u s’écrit :

: 2

u x6 x Il vient alors :

( )

( ) ( )

2

2

1

1 2

2 1

1 ' 2 f x x

x x x

u x u x

= +

= +

= ×

.

Or, la fonction u'

u admet la fonction 2 u comme primitive. On en déduit que la fonction

2

2 1 x x

x +

6 admet la fonction x62 x²+1 comme primitive.

Finalement, pour obtenir une primitive de la fonction f, il suffit de multiplier la fonction que nous venons d’obtenir par 1

2 :

2 1

x6 x +

PanaMaths Novembre 2005

Résultat final

Une primitive sur \ de la fonction f définie par

( )

1 f x x

x

= +

est la fonction définie par :

2 1

x6 x +