Déterminer une primitive de la fonction h définie sur \ par :

PanaMaths Novembre 2005

Déterminer une primitive de la fonction h définie sur \ par :

( ) ( ⁵

^{1 5 2 x 5} )

h x

x x

= −

− +

Analyse

La fonction h est, à un facteur multiplicatif près, le produit de la puissance d’une fonction par sa dérivée, encore faut-il récrire le rapport sous forme d’un produit …

Résolution

Considérons la fonction polynôme u définie sur \ par :

: 5 2 2 5

u x6 x − x+

En tant que fonction polynôme, elle est dérivable sur \ et sa dérivée 'u s’écrit :

: 10 2

u x6 x−

Pour tout x réel, on peut écrire : ^10x− = − − + = −^{2 2}

(

)

(

)

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

2 11

2 11

2 11

11

1 5

5 2 5

1 5 5 2 5

1 2 1 5 5 2 5

2 1 ' 2 h x x

x x

x x x

x x x

u x u x

−

−

−

= −

− +

= − − +

= × − − − +

−

= −

.

Or, pour tout entier n différent de −1, la fonction 'u uⁿ admet la fonction 1 ¹ 1

un

n

+

+ comme

primitive. On en déduit que la fonction ^{x6u x u'}

( )

( )

( )

1 10

x 10u⁻ x

6− , c’est à dire :

(

)

1

10 5 2 5

x

x x

−

− +

6 .

PanaMaths Novembre 2005

Finalement, pour obtenir une primitive de la fonction h, il suffit de multiplier la fonction que nous venons d’obtenir par 1

−2 :

(

)

1

20 5 2 5

x

x − x+ 6

Résultat final

Une primitive sur \ de la fonction h définie par

( )

(

)

h x

x x

= −

− + est la fonction définie par :

(

)

1

20 5 2 5

x

x − x+ 6