PanaMaths Novembre 2007
Déterminer une primitive de la fonction f définie sur \
+*par :
( ) 11 4x
2
f x x
= +
Analyse
On peut, en coupant la fraction, faire apparaître une somme de puissances (d’exposants négatifs …).
Résolution
On a, pour tout réel x de \+* :
( )
11 4x2 114 x24 114 12 11 4 2f x x x
x x x x x
− −
= + = + = + = +
Pour n≠ −1, une primitive de la fonction x6xn est la fonction 1 1 1
x xn
n
+
6 + . Si on note F une primitive de la fonction f, on a alors :
( )
11 1 4 1 1 2 1 11 3 1 113 14 1 2 1 3 3
F x x x x x
x x
− + − + − −
= + = − − = − −
− + − +
Remarque : on peut aussi directement intégrer 12
x6 x en notant qu’il s’agit de l’opposée de la dérivée de 1
x6 x.
Résultat final
La fonction 113 1
: 3
F x6− x − x est une primitive de la fonction
2 4
: 11 x
f x x
6 + sur l’intervalle \+*
