Déterminer la primitive de la fonction f définie sur \

(1)

PanaMaths Décembre 2004

Déterminer la primitive de la fonction f définie sur \

⁺^*

par :

( ) 3

7 f x x

=

− x et s’annulant en 1.

Analyse

La fonction f est la somme de deux fonctions simples. On cherche d’abord une primitive de chacune de ces fonctions.

Résolution

La fonction x67x admet pour primitive la fonction 7 ²

x62x sur \⁺^*. La fonction 3

x6−x admet pour primitive la fonction x6−3lnx sur \⁺^*. Les primitives de la fonction f sur \⁺^* s’écrivent donc :

7 2

2 3ln

x6 x − x+k

où k est une constante réelle.

On cherche la primitive s’annulant en 1.

Cette condition équivaut à : 7 ²

1 3ln1 0

2× − + =k , soit : 7 k= −2. Finalement, la primitive cherchée F est définie par :

( )

⁷ ² ⁷ ^3ln ⁷

(

² ¹

)

^3ln

2 2 2

F x = x − − x= x − − x

(2)

PanaMaths Décembre 2004

Résultat final

La primitive de la fonction f définie sur \ par :

( )

⁷ ³

f x x

= − x

et s’annulant en 1 est la fonction F définie par :

( )

⁷₂

(

² ¹

)

^3ln

F x = x − − x