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Primitive d'une fonction I- Primitive d'une fonction continue a) Définition Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I telle que

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Primitive d'une fonction

I- Primitive d'une fonction continue

a) Définition

Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I telle que F '=f Théorème Soit f une fonction continue sur un intervalle I

Soient F et G deux primitives de f sur I . Alors F et G différent d'une constante cad : Pour tout x ∈ I , G(x) – F(x) = c avec c ∈ ℝ .

Démonstration :

Puisque F et G sont deux primitives de f sur I, on a : F’ = G’ = f sur I d’où F’ – G’ = 0 sur I c’est à dire F’ – G’ = (F – G )’ = 0 sur I

Or les seules fonctions qui admettent une dérivée nulle sont les fonctions constantes ainsi on a : F – G = c où c est une constante

b) Tableau des primitives usuelles

Les résultats de ce tableau s’établissent en vérifiant que l’on a bien F’ = f sur l’intervalle considéré.

Fonction f Fonction primitive F

( c constante) Intervalle I

f

(

x

)=

k

(constante) F(x) = k x + c I = ℝ

f

(

x

)=

x

n ( n ∈ ℤ , n ≠ –1 ) F(x) =

x

n+1

n

+1 + c I = ℝ si n > –1

I = ]–∞;0[ ou ] 0 ; +∞[ si n < –1 f(x) = 1

x=x−1 F(x) = ln(x) + c I = ]0 ;+∞[

f(x) = 1

x F(x) = 2√

x

+ c ]0 ;+∞[

f(x) = cos x F(x) = sinx+c I = ℝ

f(x) = sin x F(x) = −cosx+c I = ℝ

f(x) = ex F(x) = ex+

c

I = ℝ

c) Opérations sur les primitives

OPERATIONS SUR LES PRIMITIVES u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I

Fonction Primitives de f sur I Conditions

u’ + v’

u

+

v

+

c

I

ku' ( k constante)

ku

+

c

I

u' un ( n ∈ ℤ , n ≠ –1 )

u

n+1

n

+1+

c

u(x) ≠ 0 sur I si n < –1

u '

u

ln(u)+c u(x) > 0 sur I

u '

u

2

u

+

c

u(x) > 0 sur I

u '

u

2

1

u

+

c

u(x) ≠ 0 sur I

u '

eu eu+

c

I

u '

×(

v '

u

)

v

u

v est dérivable sur sur J et u(x) ∈ J

pour tout x ∈ I d) Existence de primitives

Théorème (admis) Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle

M. PHILIPPE 1 / 1

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