Analyse 3
CALCUL DE PRIMITIVES
1. Primitives et int´egrales
D´efinition. Soient I un intervalle de Ret une fonction f :I →R. On dit qu’une fonction F :I →R est une primitive def si
(i) F est d´erivable ;
(ii) pour tout x ∈I, F0(x) =f(x).
Th´eor`eme (admis). Toute fonction continue f :I →R admet une primitive.
Th´eor`eme. Soit f : I → R une fonction admettant une primitive. Alors l’ensemble des primitives de f est {F + c, c ∈ R} o`u F est une primitive particuli`ere.
Notation pratique. On note souvent R
f(x)dx une primitive de f (modulo une constante additive).
D´efinition. Soit f :I →R une fonction admettant une primitive. Etant donn´es a, b∈I, on d´efinit l’int´egrale de f de a `a b par
Rb
a f(x)dx=F|ba =F(b)−F(a)
o`u F est une primitive def (cela ne d´epend pas de la primitive utilis´ee).
Th´eor`eme. Soient f : I → R une fonction admettant une primitive et a ∈ I.
Alors G(x) =Rx
a f(t)dt est la primitive def qui est nulle ena.
Th´eor`eme (propri´et´es de l’int´egrale). Soient f, g : I → R des fonctions admettant une primitive. On a :
• relation de Chasles: ∀a, b, c∈I, Rc
af(x)dx=Rb
a f(x)dx+Rc
b f(x)dx.
• lin´earit´e : Soient λ, µ ∈ R. Alors λf + µg admet une primitive sur I et Rb
a λf(x) +µg(x)dx=λRb
af(x)dx+µRb
a g(x)dx.
• positivit´e : Si a ≤bet f ≥0 sur I, alors Rb
a f(x)dx≥0.
2. Utilisation d’un tableau de primitives
f(x) Z
f(x)dx xα (α 6=−1) xα+1
α+ 1 1
x ln|x|
ex ex cosx sinx
sinx −cosx tanx −ln|cosx|
coshx sinhx sinhx coshx tanhx ln coshx 1
x2+a2 (a 6= 0) 1
a arctanx a
√ 1
a2−x2 (a > 0) arcsinx a
f(x) Z
f(x)dx 1
cos2x tanx 1
sin2x −cotx 1
cosh2x tanhx 1
1−x2 1
2ln|x+ 1 x−1|
√ 1
x2−1 ln|x+p
x2−1|
√ 1
x2+ 1 ln(x+p
x2+ 1) 1
sinx ln|tanx 2| 1
cosx ln|tan(x 2 + π
4)|
(`a savoir par coeur) (`a savoir retrouver) 3. Int´egration par parties
Th´eor`eme. Soientuetvdeux fonctions d´erivables sur l’intervalleI. Siu0vadmet une primitive, alors uv0 admet une primitive et on a
(i) R
u(x)v0(x) dx=u(x)v(x)−R
v(x)u0(x) dx; (ii) Rb
au(x)v0(x) dx=u(x)v(x)|ba−Rb
av(x)u0(x) dx.
On retient cette r`egle sous la forme :
R udv =uv−R vdu 4. Changements de variables
Th´eor`eme. Soient ϕ: I →R une fonction d´erivable et f : J →R une fonction d´efinie sur un intervalleJ contenu dans ϕ(I).
(i) Si F est une primitive def, alors F ◦ϕ est une primitive de(f ◦ϕ)ϕ0. (ii) Siϕ0 >0surI (ouϕ0 <0surI) et siG est une primitive de(f◦ϕ)ϕ0, alors
G◦ϕ−1 est une primitive de f, o`u ϕ−1 est la fonction r´eciproque de ϕ.
(iii) Pour a, b∈I, on a Rb
a f ◦ϕ(x)ϕ0(x)dx=Rϕ(b)
ϕ(a) f(u)du.
Dans tous les cas, il faut retenir la r`egle suivante 2
pour le changement de variable u=ϕ(x), du=ϕ0(x)dx et si x varie de a `a b, alors u varie de ϕ(a) `a ϕ(b)
5. Autres techniques
5.1. Int´egration des fractions rationnelles.
M´ethode : la d´ecomposition en ´el´ements simples (sur R) deP(x)/Q(x) r´eduit par lin´earit´e le probl`eme `a l’int´egration des ´el´ements simples. Pas de probl`eme pour
Z 1
(x−a)ndx ou pour
Z 2ax+b
(ax2+bx+c)ndx.
Pour calculer
Z 1
(ax2+bx+c)ndx
on compl`ete le carr´e dansax2+bx+cpour se ramener par changement de variable
`
a u2+α2. Enfin, on sait calculer
Z 1
(v2+ 1)ndv.
5.2. Calcul de Z
(sinx)p(cosx)qdx, o`u p et q sont entiers.
C’est facile si pouqsont impairs. Supposons par exemple q= 2k+ 1 impair. Alors on fait le changement de variable u= sinx. Cela donne du= cosxdxet
Z
(sinx)p(cosx)qdx= Z
(sinx)p(cosx)2kcosxdx
= Z
up(1−u2)kdu Il ne reste plus qu’`a int´egrer ce polynˆome en u.
C’est un peu plus long sipetq sont tous les deux pairs. Il faut utiliser les formules de lin´earisation :
cosacosb=1
2(cos(a+b) + cos(a−b)) sinasinb=− 1
2(cos(a+b)−cos(a−b)) sinacosb=1
2(sin(a+b) + sin(a−b)) 3
5.3. Int´egration des fractions rationnelles en sinx et cosx La m´ethode g´en´erale est le changement de variable t= tanx
2. On utilise alors les formules suivantes :
sinx= 2t
1 +t2, cosx= 1−t2
1 +t2, tanx= 2t
1−t2, dx= 2dt 1 +t2 On est alors ramen´e `a l’int´egration d’une fraction rationnelle.
Il existe souvent des changements de variable plus ´economiques. On regarde diverses sym´etries de l’´el´ement diff´erentiel f(x)dx sous le signe R
: Si x7→π−x laisse invariant f(x)dx, on pose u= sinx.
Si x7→ −x laisse invariant f(x)dx, on pose u = cosx.
Si x7→π+x laisse invariant f(x)dx, on pose u= tanx.
5.4. Int´egration des fractions rationnelles en ex et e−x.
Le changement de variable X = ex marche bien. En effet, on a alors dX = exdx, d’o`u dx=dX/X. On obtient l’int´egrale d’une fraction rationnelle en X.
5.5. Elimination des radicaux.
Les changements de variable trigonom´etriques ou hyperboliques permettent d’´ecrire certaines quantit´es comme des carr´es :
x2+ 1
´
ecrivez x= tant, alors x2+ 1 = tan2t+ 1 = 1 cos2t ou ´ecrivez x= sinht, alors x2+ 1 = sinh2t+ 1 = cosh2t
x2−1 avec |x|>1
´
ecrivez x= cosht, alors x2 −1 = cosh2t−1 = sinh2t 1−x2 avec |x|<1
´
ecrivez x= sint, alors 1−x2 = 1−sin2t = cos2t Un autre choix est x= cost.
4
