Éléments de correction de l'examen de janvier 2014
Exercice I. 1. Ωest le complémentaire de la droite d'équation x=y= 0, c'est-à-dire l'axe des z, qui est fermé, doncΩest ouvert.
2. (a) f est une fraction rationnelle.
(b) ∇f(x, y, z) =
yz(y2−x2)
(x2+y2)2 ,xz(x2−y2) (x2+y2)2 , xy
x2+y2 T
. (c) E={(x,0,0)|x6= 0} ∪ {(0, y,0)|y6= 0}.
3. (a) |f(x, y, z)| ≤z/2 qui tend vers0 quand(x, y, z) tend vers (0,0,0).
(b) Si z 6= 0, f(x,0, z) = 0 et f(x, x, z) = z/2 6= 0, donc pas de prolongement de f par continuité ailleurs qu'en l'origine.
4. Le domaine de dénition def˜est R2\{(0,0)}. (a) Voir cours.
(b) Commef˜(1,0) = 0et∂yf˜(1,0) = 26= 0, on applique le thm des fonctions implicites.
(c) g(x) =o(x−1), carg(1) =g0(1) = 0.
Exercice II. 1. (a) Γest une ellipse de grand axe aet de petit axeb, et un cercle sia=b. (b) γ(θ) = (acosθ, bsinθ)T,θ∈[0,2π].
(c) γ est clairement C1 sur [0,2π], et|γ(θ)|˙ 2 =a2sin2θ+b2cos2θ ne s'annule jamais.
2. (a) Voir cours.
(b) K est clairement fermé (inégalités larges...) et borné (paraen norme euclidienne), |K|=πab. (c) I = 0 car le domaine est symétrique par rapport ày= 0 et la fonction intégrée est impaire.
3. On passe en coordonnées polaires pour obtenir J =πa4/2.
4. (a) Le gradient def s'annule en (0,0), qui constitue un point-selle.
(b) K est compact et f est continue, donc f(K) est compact, donc borné et les bornes de f(K) sont atteintes.
(c) Supposons que le max est atteint en un pointu de K˚. CommeK˚ est ouvert,u est alors forcément un point critique, donc u = (0,0) qui ne réalise pas un extremum. Donc le max est atteint sur K\K˚ = Γ. Pareil pour le min.
(d) h atteint son max en 0 et π et son min en π/2 et 3π/2. Donc le maximum de f est atteint en (±a,0)et le minimum en(0,±b).
Exercice III. 1. Voir cours.
2. On vérie sans diculté directement que Φ est bijective de R2 dans R2, de classeC1 et sa réciproque aussi.
3. (a) On a∂2v= 0.
(b) Doncuest une fonction de x−y, i.e. il existe une fonctionU ∈C1(R) telle queu(x, y) =U(x−y).
