A dx f(x) < ∞ pour d´ esigner une int´ egrale convergente.

Universit´ e Paris-Sud Ann´ ee 2018–2019 Licences L3 PAPP & PMEC

Math´ ematiques pour la Physique II

TD 6 : Compl´ ements sur l’int´ egration

Notation : on ´ ecrira R

A dx f(x) < ∞ pour d´ esigner une int´ egrale convergente.

Exercice 1 : Convergence d’int´ egrales de Riemann impropres

Discuter la convergence des int´ egrales impropres suivantes, en fonction de α > 0 Z ∞

0

dx x ² (1 + x ² + x ⁴ )

,

Z 1 0

dx [sin(πx)] ^α ,

Z ∞ 1

dx

1

√

1 + x ² − 1 x

et

Z ∞ 0

dt e ^−at − e ^−bt t

Exercice 2 : Th´ eor` eme d’Abel

1 – Soit f (x) une fonction born´ ee (en valeur absolue) sur R + et monotone avec lim x→∞ f (x) = 0. Deux exemples : f(x) = (1 + x) ^−a pour a > 0 ou f (x) = 1/

1 + ln(x + 1) . Discuter la convergence de l’int´ egrale suivante

I = Z ∞

0

dx f (x) sin x . (1)

Est-elle absolument convergente, semi-convergente ou divergente ? 2 – ( facultatif ) D´ emontrer le th´ eor` eme suivant :

Th´ eor` eme d’Abel : Soit f et g deux fonctions satisfaisant les propri´ et´ es : (i ) lim x→∞ f (x) = 0.

(ii ) f est d´ erivable et R ∞

a dx |f ⁰ (x)| < ∞.

(iii ) g est d´ erivable et |g(x)| est born´ ee par une constante sur [a, +∞[.

Alors Z ∞

a

dx f (x) g ⁰ (x) < ∞

Retrouver le r´ esultat de la premi` ere question par application du th´ eor` eme.

Exercice 3 : Convergence uniforme versus convergence domin´ ee

• Soit f _n (x) une suite de fonctions. La suite converge uniform´ ement vers f (x) pour x ∈ A si Sup

x∈A

|f _n (x) − f (x)| → 0 pour n → ∞.

Une condition suffisante pour permuter limite et int´ egrale dans lim n→∞

R

A dx f n (x) est que la suite de fonctions soit uniform´ ement convergente sur A, un intervalle de mesure finie.

• Le th´ eor` eme de Lebesgue de la convergence domin´ ee donne des conditions plus faibles pour

permuter limite et int´ egrale.

1 – Rappeler le th´ eor` eme de Lebesgue de la convergence domin´ ee.

2 – Pour les suites de fonctions suivantes, peut-on appliquer le th´ eor` eme sur la convergence uniforme ou le th´ eor` eme de Lebesgue sur la convergence domin´ ee pour permuter limite et int´ egrale ?

(i) R 1

0 dx f _n (x) o` u f _n (x) = a n+2+(n+3) cos(2πx) ⁿ , avec a > 2.

(ii) R 1

0 dx g n (x) o` u g n (x) = x ⁿ . (iii) Tracer la fonction

h _n (x) =

( n ^3/2 x pour x ∈ [0, 1/n]

1/ √

x pour x ∈ [1/n, 1]

et discuter la convergence de R 1

0 dx h _n (x).

Exercice 4 : D´ erivation sous le signe R 1 – Consid´ erons l’int´ egrale I (λ) = R b

a dx f (x, λ) d´ ependant d’un param` etre λ. Rappeler les conditions permettant de permuter d´ erivation par rapport ` a λ et int´ egration.

2 – Calculer les int´ egrales suivantes en utilisant la d´ erivation sous le signe R : Z π

0

dx x ² sin x et

Z ∞ 0

dx x ⁿ e ^−x avec n ∈ N .

(ici on pourra aussi utiliser la d´ erivation par parties pour v´ erifier le r´ esultat).

Exercice 5 : Causalit´ e et analyticit´ e

On souhaite ´ etablir une relation entre causalit´ e d’une fonction et propri´ et´ es d’analyticit´ e de sa transform´ ee de Fourier. Soit χ(t) une fonction causale et tendant vers 0 pour t → ∞,

χ(t) = 0 pour t < 0 avec Z ∞

0

dt |χ(t)| < ∞ . (2)

Le prolongement analytique de sa transform´ ee de Fourier (aux fr´ equences complexes) est

χ(z) e

= Z +∞

−∞

dt χ(t) e ^+izt pour z ∈ C . (3)

1 – Montrer que

∂ χ(z) e

∂z ^∗ = 0 pour Im(z) > 0 (4)

(pr´ eciser pourquoi la propri´ et´ e n’est pas vraie pour Im(z) < 0).

2 – Que pouvez-vous conclure sur les propri´ et´ es analytiques de χ(z) ? e

3 – Illustration : Analyser la transform´ ee de Fourier χ(z) de e χ(t) = θ _H (t) exp

− iω ₀ + _τ ¹ t pour τ > 0, o` u θ _H (t) est la fonction de Heaviside (θ _H (t) = 1 pour t > 0 et = 0 pour t < 0).

Commentaire : cette propri´ et´ e a des cons´ equences extrˆ emement importantes en physique. En

particulier, elle conduit aux c´ el` ebres relations de Kramers-Kronig reliant l’indice de r´ efraction

d’un milieu optique et son coefficient d’absorption. Plus g´ en´ eralement, elle permet d’´ etablir une

relation entre parties r´ eactive et dissipative d’une fonction de r´ eponse.