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On considère la fonction F dénie sur R∗+ par F(x

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Academic year: 2022

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ECE 1 MATHEMATIQUES

DS 8 - Concours Blanc 2 - durée : 4 h 14 juin 2011 Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.

Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.

Cours.

1. Quand dit-on que deux v.a. sont indépendantes ? 2. Enoncer et démontrer la formule de Huygens.

3. Donner la dénition de famille liée.

4. Que sont le noyau et l'image d'une application linéaire ? Exercice I.

On considère la fonction F dénie sur R+ par F(x) = Z x2

x

ln(t) t dt. 1. Montrer que ∀x >0, F0(x) = 3 ln(x)

x . 2. En déduire les variations deF surR+. Exercice II.

On considère la famille de vecteurs deE =R3 (ou deM3,1(R), ce qui revient au même) :

~ u=

 1

−3 2

, ~v=

−2 1 3

, et w~ =

−1

−2 5

1. La famille de vecteurs (~u, ~v, ~w) est-elle libre ou liée ? Justier.

2. Déterminer le sous-espace vectoriel F qu'elle engendre, ainsi qu'une base (f~1, ~f2) de celui-ci.

3. Quelle est la dimension de F? Justier brièvement.

4. Le vecteur ~t=

 12

−21 3

 appartient-il àF?

5. Si oui, donner les coordonnées de ~t dans la base (f~1, ~f2).

Exercice III.

On considère l'application f :M3,1(R)−→ M3,1(R) dénie par f(

 x y z

) =

x−2y+z

−3x+ 5y

−y+ 3z

. 1. Montrer quef est une application linéaire.

2. Déterminer Ker(f).

3. f est-elle un automorphisme de M3,1(R)?

4. Quelle est la dimension de l'image def? Pourquoi ?

(On raisonnera sans déterminer explicitementIm(f) à cette question.) 5. Déterminer Im(f).

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Exercice IV.

Créer un programme informatique qui simule et renvoie 100 réalisations d'une v.a. de loi uniforme sur [[7; 15]].

Exercice V.

On considère le couple (X;Y), dont la loi est donnée par le tableau suivant :

HH HH

HH Y

X 1 2 3 4

1 0 1

20 1 10

1 5

2 1

20 1 20

1 20

1 10

4 1

4

1 10

1

20 0

Pour tous les calculs, mis à part à la question 8. , les valeurs exactes sont attendues.

1. Sans calcul de votre part, dire si le variables X etY sont corrélées. Soyez précis.

2. Donner X(Ω)etY(Ω).

3. Compléter le tableau en justiant simplement le calcul de P(X= 1). 4. Vérier que E(X) = 2.5, puis calculer E(Y),V(X) etV(Y).

5. Déterminer la loi de la v.a.XY. 6. Calculer alors E(XY).

7. En déduire alors que Cov(X;Y) =−9 8. 8. En prenant 29×699

8000 '2.5, calculer une valeur approchée de Corr(X;Y). (question dicile) 9. Interpréter le résultat, et comparer à la première question.

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Exercice VI.

On considère une suite de tirages avec remise dans une urne contenant 2 boules jaunes et une boule verte.

On noteX le rang où apparaît pour la première fois la séquence constituée de deux boules vertes consécu- tives.

Par exemple, si les premiers tirages ont donné : J V J J J V V alors X = 7. On note, pour n∈N :

Vn={lene tirage donne une boule verte}, Jn=Vn et pn=P(X=n). Partie A.

1. Calculer p1 ,p2, p3 et p4.

2. Montrer que les évènements J1, V1∩J2 et V1∩V2 forment un système complet.

3. Pour n∈N, décomposer P(X=n+ 2), à l'aide des évènements précédents, et de la formule des probabilités totales.

4. En déduire, en expliquant précisément le raisonnement, que ∀n∈N, pn+2= 2

3pn+1+2 9pn. 5. Montrer que ∀n∈N, pn= 1

6√ 3

1 +√ 3 3

!n−1

− 1−√ 3 3

!n−1

. Partie B.

1. a. Calculer

+∞

X

n=1

pn. (On admet que cette série est bien convergente.) b. Que peut-on en déduire ?

2. a. Justier l'existence de l'espérance de X. b. Montrer que E(X) = 12.

3. Calculer V(X). (c'est un entier.)

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