Soit f :R+ →R, λ-int´egrable sur R+

Universit´e des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees

Licence de Math´ematiques

I.F.P. Ann´ee 02-03

Fiche n^o5

Ex 1. Calculer limn→+∞R

]0,1[f(xⁿ) dλ(x) lorsque a) f :]0,1[→R⁺ est d´ecroissante ;

b) f ∈L¹_R(λ) est positive et croissante.

Ex 2. Soit f :R+ →R, λ-int´egrable sur R+. Calculer

n→+∞lim Z

[0,+∞[

f(x)

1 +nsin²xdλ(x).

Ex 3. Etudier´

n→+∞lim 1 lnn

Z +∞

0

ln(n+x) cos(nx) 1 +x² dx.

Ex 4. Etudier´

α→0lim Z 1

0

sinπ

x

α

dx, α >0.

Ex 5. Etudier´

n→+∞lim Z n

0

1− x

n n

e^x/2dx et lim

n→+∞

Z n

0

1 + x

n n

e^−2xdx.

Ex 6. Calculer Z 1

0

dy

1 +y²· En d´eduire la valeur de

+∞

X

k=0

(−1)^k 2k+ 1.

Ex 7. Montrer que Z +∞

0

sinax e^x−1dx=

+∞

X

k=1

a k²+a².

Ex 8. Soit f : R → C, telle que pour tout a ∈ R, la fonction f_a : t 7→ e^atf(t) soit λ-int´egrable surR.

1) Montrer que

∀z ∈C, Z

R

e^ztf(t) dλ(t) =

+∞

X

k=0

z^k k!

Z

R

t^kf(t) dλ(t).

2) Qu’en d´eduit-on pour la fonction de z d´efinie par le premier membre de cette

´egalit´e ?

Ex 9. Int´egrale fonction de sa borne sup´erieure

Soitf une application Lebesgue-int´egrable sur un intervalle [a, b]. On pose, pour tout x∈[a, b], F(x) =R

[a,x]f(t) dλ(t). Montrer que F est continue et que F est d´erivable en tout point o`u f est continue.

Ex 10. On pose

f(x) :=

Z +∞

0

sint t

2

e^−xtdt.

1) V´erifier que l’on d´efinit ainsi la fonction f sur R+.

2) Montrer que f est continue sur R⁺ et deux fois d´erivable sur R^∗+.

3) Calculer f⁰⁰ et les limites en +∞ de f et f⁰. En d´eduire une expression simple def.

Ex 11. Soit ϕ: [0,1]→R, λ-int´egrable sur [0,1]. On pose f(x) :=

Z

[0,1]

|ϕ(t)−x|dλ(t).

1) Montrer que f est d´efinie et continue sur R.

2) Soit x₀ ∈R. Montrer que si λ({ϕ =x₀}) = 0, alors f est d´erivable au point x₀. Ex 12. Fonction Gamma

On pose pour tout x >0,

Γ(x) :=

Z +∞

0

t^x−1e^−tdt.

1) Montrer que la fonction Γ est continue, de classe C^∞ sur ]0,+∞[. Calculer les d´eriv´ees successives Γ⁽ⁿ⁾ de Γ.

2) Montrer que

Γ(x) = lim

n→+∞

Z n

0

1− t

n n

t^x−1dt.

3) Soient a et s deux r´eels strictement positifs. Calculer A := R+∞

0 t^s−1e^−atdt.

Montrer que pour s >1, on aR+∞

0 t^s−1

e^t−1dt=P

n≥1Γ(s)n^−s. 4) ExprimerA_n:=R+∞

0 t²ⁿe^−t2dt`a partir de la fonction Γ. Montrer que la fonction t7→e^−t2cosat est int´egrable sur [0,+∞[. Calculer l’int´egrale R+∞

0 e^−t2cosatdt `a partir de Γ(n+ 1/2). En d´eduire la valeur de R+∞

0 e^−t2cosatdt.

5) Autre m´ethode : On pose pour tout t∈R, f_n(t) := e^−t2/2

n

X

k=0

(−1)^ka^2kt^2k (2k)!.

Quelle est la limite de la suitef_nquandntend vers l’infini ? Par application du th´eor`eme de Lebesgue, retrouver l’int´egrale pr´ec´edente.

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