Forme irréductible d’une fraction rationnelle. Fonction rationnelle.

Programme colle math Semaine 16 du 27/01/20 au 01/02/20 MPSI B Hoche

Polynômes et fractions rationnelles (fin)

h) Fractions rationnelles

Corps K(X ). La construction de K(X ) n’est pas exigible.

Forme irréductible d’une fraction rationnelle. Fonction rationnelle.

Degré, partie entière, zéros et pôles, multiplicités.

i) Décomposition en éléments simples sur C et sur R

Existence et unicité de la décomposition en éléments La démonstration est hors programme.

simples sur C et sur R . On évitera toute technicité excessive.

La division selon les puissances croissantes est hors pro- gramme.

Si λ est un pôle simple, coefficient de 1 X − λ . Décomposition en éléments simples de P

P .

Espaces vectoriels et applications linéaires (1)

A - Espaces vectoriels

Espaces vectoriels

Structure de K espace vectoriel Espaces K

, K[X ].

Produit d’un nombre fini d’espaces vectoriels.

Espace vectoriel des fonctions d’un ensemble dans un Espace K

des suites d’éléments de K.

espace vectoriel.

Famille presque nulle (ou à support fini) de scalaires, On commence par la notion de combinaison linéaire d’une combinaison linéaire d’une famille de vecteurs. famille finie de vecteurs.

Sous-espaces vectoriels

Sous-espace vectoriel : définition, caractérisation. Sous-espace nul. Droites vectorielles de R

, droites et plans vectoriels de R

. Sous-espaces K

[X] de K[X].

Instersection d’une famille de sous-espaces vectoriels.

Sous-espace vectoriel engendré par une partie X . Notations Vect(X ), Vect (x

)

.

Tout sous-espace contenant X contient Vect(X).

Familles de vecteurs

Familles et parties génératrices.

Familles et parties libres.

Base, coordonnées. Bases canoniques de K

, K

[X ], K[X].

Somme d’un nombre fini de sous-espaces

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Programme colle math Semaine 16 du 27/01/20 au 01/02/20 MPSI B Hoche

Somme de deux sous-espaces.

Somme directe de deux sous-espaces. Caractérisation La somme F + G est directe si la décomposition de tout

par l’intersection. vecteur de F + G comme somme d’un élément de F et

d’un élément de G est unique.

Sous-espaces supplémentaires.

Somme d’un nombre fini de sous-espaces.

Somme directe d’un nombre fini de sous-espaces. Carac- La somme F

+· · ·+F

est directe si la décomposition de térisation par l’unicité de la décomposition du vecteur tout vecteur de F

+ · · · + F

sous la forme x

+ · · · + x

nul. avec x

∈ F

est unique.

Questions de cours Fractions rationnelles.

Représentants irréductibles d’une fraction.

Définition du degré d’une fraction rationnelle. Degré d’un produit et d’une somme.

Zéro, pôle, multiplicité, valuation en a ∈ C . Valuation d’un produit, d’une somme.

Exercice traité en classe : dérivation d’une fraction rationnelle, étude du degré de la dérivée.

Avec démonstration :

— Forme, existence et unicité de la partie polaire pour a ∈ C (démonstration algorithmique).

— Existence et unicité de la partie entière.

— Une fraction est la somme de sa partie entière et de ses parties polaires.

Espaces vectoriels sans dimension.

Définition et caractérisation des couples de sous-espaces supplémentaires.

Prochain programme Espaces vectoriels de dimension finie.

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