Feuille d’exercices : espaces vectoriels et applications linéaires savoir tester si un ensemble est un sous-espace vectoriel

Feuille d’exercices : espaces vectoriels et applications linéaires savoir tester si un ensemble est un sous-espace vectoriel

Exercice 1 Préciser si les ensembles suivants sont des R -espaces vectoriels.

1. F = {(x, y, z) ∈ R

| x + 2y + 3z = 0} 2. F = {(x, y) ∈ R

| x − y = 2}

3. S

( K ) = {M ∈ M

( K ) |

M = M } 4. GL

( K ) = {M ∈ M

( K ) | M inversible}

5. F = {P ∈ R [X] | deg P > 3} 6. F = {P ∈ K [X] | P (X

) = (X

+ 1)P }.

7. F = {f : R → R | f (1) = 0} 8. F = {f : R → R | f (1) = 1}

9. F = {f ∈ C([a, b], R ) |

f(t) dt = 0} 10. F = {f ∈ ∆

( R , R ) | f

+ 2f = 0}

Exercice 2 Préciser si les ensembles suivants sont des R -espaces vectoriels.

1. D

( K ) l’ensemble des matrices diagonales de M

( K )

2. F l’ensemble des matrices de M

( K ) à coefficients positifs ou nuls 3. l’ensemble des fonctions de R dans R bornées

4. l’ensemble des fonctions de R dans R croissantes

5. l’ensemble des solutions de l’équation différentielle y

( x ) − x

y ( x ) = 0.

6. F = {( x, y, z ) ∈ R

| ( x + y + z )( x − y + z ) = 0}

7. N l’ensemble des matrices nilpotentes de M

( K ).

savoir manipuler la notation Vect

Exercice 3 (Notion de combinaison linéaire)

1. Le vecteur u = (5 , 3 , 2) est-il combinaison linéaire des vecteurs (3 , 1 , 5) et (4 , −3 , 2) ? Et le vecteur v = (6, −11, −4) ?

2. La fonction f : x 7→ sin(2x) est-elle une combinaison linéaire de sin et cos ? Et la fonction g : x 7→ sin( x + 2) ?

3. Le polynôme 16 X

− 7 X

− 4 + 21 X est-il une combinaison linéaire de 8 X

− 5 X

+ 1 et de X

+ 7X − 2 ?

Exercice 4 Démontrer par double inclusion les égalités suivantes :

1. Vect {u, v} = Vect {u, v, 2 u − 3 v} où u et v sont deux vecteurs d’un K -espace vectoriel E . 2. K

= Vect

(1 , 0 , 0); (1 , 1 , 0); (1 , 1 , 1)

3. K

[X] = Vect (X − 1, X + 1).

Exercice 5 Soient A et B deux sev d’un K -espace vectoriel E .

1. Montrer que la réunion de A et B n’est pas forcément un sev de E (prendre E = R

).

2. Montrer que A ∪ B est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si A ⊂ B ou B ⊂ A . 3. Démontrer que Vect A ∪ B = A + B où A + B = {a + b | (a, b) ∈ A × B }.

Exercice 6 Soient A et B deux parties d’un espace vectoriel . 1. À quelle condition a-t-on A = VectA ?

2. Montrer que A ⊂ B ⇒ Vect A ⊂ Vect B .

3. Montrer que Vect ( A ∩ B ) ⊂ Vect A ∩ Vect B , l’inclusion étant stricte (prendre A = {x}

et B = {−x}).

Exercice 7 (Espace des polynômes de matrice) Soit A ∈ M

( K ). On pose K [ A ] = {P ( A ) | P ∈ K [ X ]} et C( A ) = {M ∈ M

( K ) | AM = M A}.

1. Démontrer que Vect {A

| n ∈ N } = K [ A ].

2. On pose A = 1 1 0 0

!

. Calculer A

, en déduire une base de K [A].

3. On pose N =







0 0 1 0 0 0 0 0 0







.

Déterminer une base de K [A], puis déterminer une base de C (A).

savoir tester la liberté d’une famille

Exercice 8 Les familles de R

suivantes sont-elles libres ou liées ? 1. ((1 , 0 , 1); (0 , 1 , 0)) 2. ((7 , −4 , 3))

3. ((1, 0, 1); (0, 1, 0); (1, −1, 1)) 4. ((1, 0, 1); (0, 1, 0); (−1, −1, 1)) 5. ((1, 0, 1); (0, 1, 0); (−1, −1, 1); (2, −6, −1))

Exercice 9 Soit ( u, v ) une famille libre de E un K -espace vectoriel. Parmi les familles suivantes lesquelles sont libres ?

1. (u + v, u − v) 2. (u + v, u − v, 2u + 4v) 3. (3u + 6v, 2u + 4v)

Exercice 10 Montrer que les suites (1)

, ( n

)

et (2

)

forment une famille libre de R

. Exercice 11 Soit ( P

, . . . , P

) une famille de polynômes de K [ X ] tels que deg P

= 0 , deg P

= 1, . . . , deg P

= n. Démontrer que cette famille est libre.

Exercice 12 Pour n ∈ N , on pose f

: x 7→ |x − n|. Montrer en utilisant un argument de

dérivabilité que la famille (f

, f

, . . . , f

) est une famille libre de F ( R , R ).

Exercice 13 (une famille de fonctions) Pour n ∈ N , on pose f

: x 7→ e

. Montrer que la famille (f

, f

, ..., f

) est une famille libre de F( R , R ).

Exercice 14 (une famille de fonctions) Pour n ∈ N , on pose f

: x 7→ cos( nx ). Mon- trer par récurrence que ( f

, f

, ..., f

) est une famille libre de F( R , R ) (indication : si ∀x ∈ R ,

a

cos px = 0, montrer que

p

a

cos px = 0 puis que

((n +1)

−p

)a

cos px = 0).

savoir obtenir une base d’un espace vectoriel

Exercice 15 (Comment obtenir des familles génératrices) Démontrer que les ensemble suivants sont des sous-espaces vectoriels et déterminer une famille génératrice puis une base de chacun d’eux.

1. {(2x − y, 3x + y, 4x) | x, y ∈ R }

2. {( x, y, z ) ∈ R

| x + 2 y + z = 0 et 2 x + y + 3 z = 0}

3. {P ∈ K [X] | P (X

) = (X

+ 1)P }.

Exercice 16 Déterminer une base de A

( K ) l’espace des matrices antisymétriques de M

( K ).

Exercice 17 On se place dans E = R

. On pose u = (1 , 1 , −1), v = (−1 , 1 , 1) et w = (1 , −1 , 1).

Les calculs montrent que la famille (u, v, w) est une base de R

. Déterminer les coordonnées du vecteur (2 , 1 , 3) dans cette nouvelle base.

Exercice 18 (Base de Taylor) Pour a ∈ R et n ∈ N , on pose P

= ( X − a )

.

1. Justifier que la famille ( P

, P

, ..., P

) est une base de R

[ X ]. On l’appellera base de Taylor.

2. Déterminer les coordonnées de X puis de X

dans cette base.

3. Soit P ∈ R

[X]. Déterminer les coordonnées de P dans la base de Taylor.

applications linéaires

Exercice 19 Montrer que les applications suivantes sont linéaires : 1. f : R

→ R

définie par f (x, y) = (2x + 3y, x + 2y).

2. u : C ([ a, b ] , R ) → R définie par u ( f ) =

f ( t ) d t . 3. f : R [X] → R définie par f(P ) = P (0).

Exercice 20 On considère f : R [ X ] → R [ X ] défini par f ( P ) = P − XP

. 1. Démontrer que f est un endomorphisme de R [X].

2. Déterminer son noyau et en donner une famille génératrice.

Exercice 21 On note E l’ensemble des suites à coefficients réels et f l’application de E dans E qui à une suite u associe la suite v de terme général v

= u

− 2u

.

1. Démontrer que f est un endomorphisme de E . 2. Déterminer le noyau de f.

Exercice 22 Déterminer le noyau des applications linéaires suivantes et en donner une famille génératrice :

1. f : R

→ R

définie par f ( x, y ) = ( x + y, 2 x + 2 y ).

2. f : R

→ R

définie par f (x, y, z) = (x + y + z, y − 2z).

3. f : R

→ R

définie par f (x, y, z) = (2x, x − z, x + y + z)

4. f : R

→ R

définie par f ( x, y, z ) = (−2 x − y + z, 2 x + y − z, 4 x + 2 y − 2 z ).

5. u : R [ X ] → R [ X ] définie par u ( P ) = P

6. u : C

( R , R ) → C

( R , R ) définie par u ( f ) =

x 7→ f

( x ) − 2 xf ( x )

. Exercice 23 On considère l’application linéaire f : R

→ R

définie par

f ( x, y, z ) = ( x − y + z, 2 x + y + 2 z ) . 1. Déterminer Ker f. L’application f est-elle injective ?

2. Démontrer que Im f = Vect {(1 , 2); (−1 , 1)}. L’application f est-elle surjective ? Exercice 24 On considère l’application où f : R

→ R

est définie par

f ( x, y, z, t ) = (4 x + 2 t, 3 x + z + t, 2 x + y + 2 t ) . 1. Déterminer une famille génératrice de Im f

2. Cette famille est-elle une base ? Déterminer une base de Im f .

plus abstrait

Exercice 25 Soit E un K -espace vectoriel et f ∈ L( E ). On pose f

= f ◦ f . 1. Montrer que Ker f ⊂ Ker f

et que Im f

⊂ Im f .

2. Montrer que l’inclusion réciproque des noyaux est fausse à l’aide de f : ( x, y, z ) 7→ (0 , x, y ).

3. Soit g un autre endomorphisme de E . Montrer que g ◦ f = 0 ssi Im f ⊂ Ker g . Exercice 26 Soit E un K -espace vectoriel et f ∈ L( E ). Montrer que

1. Ker f

= Ker f ⇔ Im f ∩ Ker f = {0}.

2. Im f

= Im f ⇔ Im f + Ker f = E .

Exercice 27 Soit E un K -espace vectoriel et f ∈ L(E) tel que f

= 0 et f

6= 0 et soit x un vecteur de E tel que f

(x) 6= 0. Montrer que (x, f (x), f

(x)) est une famille libre.

Exercice 28 Soit f et g deux endomorphismes d’un K -espace vectoriel E qui commutent.

Montrer que f laisse stable Ker g et Im g (un espace F est dit stable par f si f (F ) ⊂ F ).

savoir dire si deux espaces sont supplémentaires

Exercice 29 On pose E = {P ∈ R [ X ] | tous les termes de P sont de degré pair} ∪ {0}, F = {P ∈ R [ X ] | tous les termes de P sont de degré impair} ∪ {0}, et G = {P ∈ R [ X ] | P (0) = 0}.

1. Montrer que E, F, G sont des espaces vectoriels.

2. Montrer que R [ X ] = E + F , cette somme est-elle directe ? 3. Montrer que R [X] = E + G, cette somme est-elle directe ?

Exercice 30 Soit E un K -espace vectoriel et f ∈ L( E ) tel que f

− 3 f + 2 id = 0.

1. Montrer que E = Ker(f − id) ⊕ Ker(f − 2 id).

2. Montrer que f est un automorphisme de E , déterminer son inverse.

savoir reconnaître une symétrie ou un projecteur et donner ses élé- ments caractéristiques

Exercice 31 On considère f : R

→ R

définie par f (x, y) = (x + 2y, −y).

1. Montrer que f est une symétrie vectorielle. Préciser ses éléments caractéristiques.

2. On considère p : R

→ R

définie par p(x, y) = (x + y, 0). Déterminer la nature géomé- trique de p ainsi que ses éléments caractéristiques.

3. En déduire que l’endomorphisme id + f est la composée de 2 endomorphismes (de nature géométrique) que l’on précisera.

Exercice 32 (Coordonnées du projeté) On considère les espaces

F = {(x, y, z) ∈ R

| x+2y+z = 0 et 2x+y−z = 0} et G = {(x, y, z) ∈ R

| x+y+2z = 0}.

1. Déterminer une base de F , puis démontrer que F et G sont supplémentaires dans R

. 2. Soit p la projection sur F parallèlement à G et X = (x, y, z) ∈ R

. Déterminer les

coordonnées de p ( X ). Même question avec q la projection sur G parallèlement à F . Exercice 33 (La composée de deux projecteurs est-elle un projecteur ?) Soit p et q deux projecteurs de E un K -espace vectoriel.

1. Démontrer que si E = R

, la composée de p et q n’est pas forcément un projecteur de R

. Un dessin pourra suffir.

On suppose désormais jusqu’à la fin de l’exercice que les projecteurs p et q commutent, c’est-à-dire p ◦ q = q ◦ p .

2. Démontrer que p ◦ q est un projecteur de E.

3. Démontrer que Im( p ◦ q ) = Im p ∩ Im q et que Ker( p ◦ q ) = Ker p + Ker q . Que peut-on en déduire ?

Exercice 34 (Une symétrie) Soit f l’application qui à un polynôme P de K

[ X ] associe le polynôme

f ( P ) = X

P ( 1 X ) .

1. Démontrer que pour tout P ∈ K

[X], l’image f (P ) est bien un polynôme de K

[X].

2. Démontrer que f est une symétrie de K

[X].

3. Déterminer une base de ses espaces caractéristiques lorsque n = 4.

qualités géométriques des endormorphismes de R

Exercice 35 (Un peu de zoologie dans R

) Pour chaque transformation de R

suivante :

• déterminer leur expression analytique (on pourra parfois s’aider des nombres complexes)

• indiquer celles qui sont linéaires et donner leur matrice dans la base canonique de R

. On note ∆ la droite d’équation y = x.

1. homothétie de centre (0 , 0) de rapport 2 2. symétrie orthogonale par rapport à l’axe des abscisses 3. homothétie de centre (1 , 3) de rapport 2 4. symétrie centrale de centre (0 , 0)

5. translation de vecteur (2 , 1) 6. la projection orthogonale sur l’axe des abscisses.

7. la rotation de centre 0 et d’angle

. 8. la dilatation verticale de rapport 3

9. symétrie orthogonale par rapport à la droite ∆. 10. la projection orthogonale sur la droite ∆.

Exercice 36 (Image d’une droite par un endomorphisme) Soit v un vecteur non nul de R

et p un point de R

. On considère ∆ la droite de R

dirigée par v et passant par p.

1. Déterminer une représentation paramétrique de ∆.

2. En déduire qu’un endomorphisme de R

transforme une droite de R

en une droite ou un point.

3. Démontrer qu’un endomorphisme de R

transforme un segment en un segment ou un point (si q est un autre point de R

, le segment [ pq ] se paramètre par {(1−t ) p + tq | t ∈ [0 , 1]}).

Exercice 37 (Image d’un plan par un endomorphisme) Soit f : E → F une application linéaire.

1. Soit A une partie de E. Démontrer que f (Vect (A)) = Vect (f (A)). Que vaut donc f (Vect {u, v}) pour u et v dans E ?

2. Que peut-on dire de l’image d’un plan vectoriel (resp. affine) par une application linéaire ? 3. En déduire l’image du plan P d’équation 2 x − y − z = 0 (resp. d’équation 2 x − y + z = 2)

par l’endomorphisme f de R

définie par :

f (x, y, z) = (3y, 2x + y − z, 4x + 5y − 2z).

reconnaître un sous-espace affine

Exercice 38 Montrer dans chaque cas que l’ensemble F est un sous-espaces affine d’un espace vectoriel E. On précisera à chaque fois l’espace vectoriel E, un point de F et sa direction.

1. F = {( x, y, z ) ∈ R

| 2 x − 5 y + 3 z − 5 = 0}.

2. F est l’ensemble des solutions du système







2x − 3y − z = −2

x + 2 y + 5 z = 5 5 x + 8 y + 3 z = 1 3. F = {P ∈ R [X] | P (1) = 2}.

4. F est l’ensemble des solutions de l’équation différentielle y

+ xy = x.

Exercice 39 L’ensemble F = {P ∈ R [ X ] | P

(0) = 1} est-il un sous-espace affine de R [ X ] ? Exercice 40 Soient F et G deux sous-espaces affines de E de directions respectives F et G.

1. Montrer que si E = F + G , alors F et G sont sécants.

2. Montrer que si E = F ⊕ G, alors F ∩ G est un singleton.