Feuille 1. ESPACES VECTORIELS
Exercice I.
Montrer que les ensembles suivants sont des espaces vectoriels (ou des sous-espaces vectoriels de certains espaces vec- toriels), et, si possible, en donner une base et la dimension :
1. F =
P∈R2[X]
P0(X) = 0
2. F =
P∈R3[X]
P(1) =P(2) = 0
3. F =
f ∈ C0([0; 1])
Z 1 0
f(x)dx=f(1)
4. F =
f ∈ C0([0; 1])
Z 1 0
xf(x)dx= 0
5. F =
( 2x+y 3z−2y 0 −x+z
!
∈ M2(R)
(x, y, z)∈R3 )
6. F =
( 2x+y 0 3z−2y −x+z
!
∈ M2(R)
(x, y, z)∈R3 )
8. F= ( x
y
!
∈ M2,1(R)
x+ 2y= 0 )
9. F=
x y z
∈ M3,1(R)
−3x+ 2z= 0
10. F=
x y z
∈ M3,1(R)
−x+ 3y = 0 et z+ 2x= 0
11. F=
x y z
∈ M3,1(R)
4x+ 3y−2z= 0
12. F={(x, y, x, y, x, y)∈R6 | (x, y)∈R2}
Exercice II.
Les ensembles suivants sont-ils des espaces vectoriels ?
A={f ∈ F(R,R)/f(1) = 1} B={f ∈ F(R,R)/fest croissante} C={f ∈ F(R,R)/fest paire} D={(x, y)∈R2/xy= 0} E={(un)∈RN/(un)est arithmétique} F ={(un)∈RN/(un)est bornée}
Exercice III.
Partie A.
On considère l’équation différentielle (E) : y0−2y= 0, oùydésigne une fonction ety0sa dérivée.
1. Montrer que l’ensembleSdes fonctions définies surRqui sont solutions de(E)est un espace vectoriel.
2. Plus généralement, supposons que la fonctiong soit une solution de(E)surR. On pose alors h(t) = g(t)e−2t. Dériverh, et en déduire la forme générale d’une solutiongde(E).
3. Déterminer alors une base et la dimension deS.
4. De manière générale, déterminer l’ensemble des solutions d’une équation différentielle de la forme y0+ay= 0.
Partie B.
On considère l’équation différentielle (F) : y00−3y0−4y= 0, oùydésigne une fonction deux fois dérivable.
1. Montrer que l’ensembleSdes fonctions définies surRqui sont solutions de(F)est un espace vectoriel.
2. On pose f(t) =e−t et g(t) =e4t. Vérifier quefetgsont solutions de(F).
3. On admet quedim(S) = 2. Déterminer alors une base deS.
Exercice IV.
1. SoitA∈ M3(R)fixée, etE={M ∈ M3(R)|AM= 03}. Montrer queEest un s.e.v. deM3(R).
2. SoitB ∈ Mn(R)fixée, etF ={M ∈ Mn(R)|M B−2BM = 0n}. Montrer queFest un s.e.v. deMn(R).
3. SoitA∈ Mn(R). Montrer queCA={M ∈ Mn(R)|AM=M A}est un espace vectoriel. (commutant deA)
Exercice V.
On noteSn(R)l’ensemble des matrices symétriques (tA=A) carrées d’ordrenetAn(R)l’ensemble des matrices antisy- métriques (tA=−A) carrées d’ordren.
1. Montrer queSn(R)etAn(R)sont des sous-espaces vectoriels deMn(R), et déterminer leur dimension.
2. Montrer que toute matrice carrée se décompose de manière unique comme la somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique.
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Feuille 1. ESPACES VECTORIELS
Exercice VI.
1. SoitEun e.v. Montrer que l’intersection de deux s.e.v.FetGdeEest un s.e.v. deE. 2. Qu’en est-il de l’intersection d’une famille de s.e.v.(Ei)i∈I?
Exercice VII.
Pour chacune des familles(ui)16i6nsuivantes, déterminer si elles sont libres, génératrices, des bases, de l’e.v. proposé : 1. a. u1= 1
−2
!
etu2= 3
−5
!
, dans M2,1(R) et b. u1= 2
−1
!
etu2= −4 2
!
, dans M2,1(R).
2. u1=
1 1 1
,u2=
1
−1
−1
etu3=
−1
−1 1
, dans M3,1(R).
3. u1=
−2 1 1
,u2=
1 1
−2
etu3=
1
−2 1
, dans M3,1(R).
4. u1=
1 2 1
,u2=
1 3 2
etu3=
0
−2
−2
, dans M3,1(R).
5. a. u1=
1 0 1
etu2=
0 1 1
et b. u1=
1 1 1
,u2=
1
−2
−2
etu3=
3
−1
−1
, dans M3,1(R).
6. u1=
1 1 1
,u2=
1
−1
−1
etu3=
−1
−1 1
etu4=
0
−1
−7
, dans M3,1(R).
7. u1=
1 3 2 4
,u2=
2 3 4 5
,u3=
1 2 2 3
etu4=
1 1 2 2
, dans M4,1(R).
8. A= 1 0 0 0
!
, B= 1 1 0 0
!
, C= 1 1 1 0
!
, D= 1 1
1 −1
!
, dansM2(R).
Exercice VIII.
SoitA=
0 1 −1
1 −1 0
−1 0 1
etE={M ∈ M3(R)/M A= 03} 1. Montrer queEest un espace vectoriel.
2. Trouver les matricesM qui appartiennent àE. (On commencera par écrireM avec tous ses coefficients.) 3. Déterminer alors une base deEet sa dimension.
Exercice IX.
Pour(x, y, z)∈R3, on définit la matrice M(x, y, z) =
x y z z x y y z x
.
1. Ecrire les matricesI=M(1,0,0)etJ =M(0,1,0), puis calculerJ2etJ3.
2. Montrer que l’ensembleEdes matricesM(x, y, z)est un sous-espace vectoriel deM3(R). 3. Déterminer une base deE.
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Feuille 1. ESPACES VECTORIELS
Exercice X.
On considère les suitesu,vetwdéfinies par un=n3, vn = 2n et wn = ln(n2+ 1), pourn∈N.
Quelle est la dimension de Vect(u, v, w)?
Exercice XI.
On donne les fonctionsf1, f2, f3, f4définies par ∀x∈R, f1(x) =x, f2(x) =x2, f3(x) =ex, f4(x) =xex Montrer que la famille(f1, f2, f3, f4)est libre.
Exercice XII.
1. On définit surRles fonctions suivantes : f0(x) = 1, f1(x) =ex, f2(x) =e2x. Montrer que la famille de fonctions(f0, f1, f2)est libre.
2. Soitn∈N. Montrer que la famille de fonctions(fk)k∈[[0,n]], définies surRparfk(x) =ekx, est libre.
3. Que peut-on dire de la dimension deF(R,R)?
Exercice XIII.
1. Les polynômes définis par P0(X) = 2, P1(X) =X+ 1 et P1(X) = 3X2−7 forment-ils une base deR2[X]? 2. Soitn∈N∗, etP0,...,Pndes polynômes deRn[X]vérifiant ∀k∈[[0, n]], deg(Pk) =k.
(On dit que la famille(P0, ..., Pn)est échelonnée en degré.) Montrer que la famille (P0, ..., Pn) est une base deRn[X].
Exercice XIV.
Soitn∈N∗et(ek)16k6nune base deRn. On pose, pourk∈[[1, n−1]], vk =ek−ek+1, ainsi que vn =en. Montrer que la famille (vk)16k6n est une base deRn.
Exercice XV.
Soit E un espace vectoriel, et(ak)16k6nune famille libre deE.
On pose b1=a1, b2=a1−a2 , ... , bn =a1−a2+a3−...+ (−1)nan. Montrer que (bk)16k6n forme une famille libre deE.
Exercice XVI.
1. Montrer que l’ensemble E= (
f ∈ C([0,1],R)
Z 1 0
f(t)dt= 0 )
est un espace vectoriel.
2. Pourk∈N∗on définit la fonctionfksur[0,1]par fk(t) =
n
X
k=1
tk− 1 k+ 1
. Montrer que ∀n∈N∗, la famille(f1, ..., fn)est libre.
3. Est-ce queEest de dimension finie ? 4. L’ensemble F=
(
f ∈ C([0,1],R+)
Z 1 0
f(t)dt= 0 )
est-il un espace vectoriel ? Justifier.
Exercice XVII.
1. On considère les vecteursu=
−4 4 3
,v=
−3 2 1
,s=
−1 2 2
ett=
−1 6 7
. Montrer queV ect(u, v) =V ect(s, t).
2. Montrer que V ect
−1 2 3
;
−3 3 2
=V ect
0 3 7
;
−7 5 0
.
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Feuille 1. ESPACES VECTORIELS
Exercice XVIII.
Déterminer le rang des matrices suivantes :
A=
−1 0 0
1 3 0
2 −1 −4
B=
1 2 −1
−1 −2 1
2 4 −2
C=
1 −1 5
0 0 0
1 −1 2 1 −1 2
D=
1 −1 1 1
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
E=
1 2 −4
−2 1 2
−4 7 −2
Exercice XIX.
1. Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel deM2(R)engendré par : A= 1 2
−1 1
!
, B= −2 1
1 −2
!
, C= −1 3
0 −1
!
et D= 5 0
−3 5
! .
2. Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel deM3,1(R)engendré par :
v1=
2
−3
−1
,v2=
−5 1
−3
,v3=
1
−8
−6
,v4=
−3 4 2
etv5=
84
−7 106
. 3. Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel deR3engendré par :
a= (1,3,4), b= (1,1,−1), c= (−1,−1,1) et d= (3,5,2)
Exercice XX.
1. Montrer que la familleB0 = ( 3
1
!
; 5 2
!)
est une base deM2,1(R). 2. Donner la matrice de passage de la base canonique à la baseB0. 3. Déterminer les coordonnées du vecteuru= 7
−5
!
dans la baseB0, puis calculer 39 3 1
!
−22 5 2
! .
Exercice XXI.
Dans les questions suivantes, montrer queB0est une base deE, donner la matrice de passage de la base canonique à la baseB0, puis les coordonnées du vecteuru(ouP, ouM) dans la baseB0.
1. E=M3,1(R), B0=
1 1 0
;
1 0 1
;
1 1 1
et u=
−3 4 8
2. E=M4,1(R), B0=
1
−1 0 0
;
1 0
−1 0
;
1 0 0
−1
;
0 1 1
−1
et u=
−5 3
−6 2
3. E=R2[X], B0 =
1;X+ 1; (X+ 1)2 et P(X) = 3X2−2X+ 7 4. E=M2(R), B0=
( 1 0 0 0
!
; 1 1 0 0
!
; 1 1 1 0
!
; 1 1 1 1
!)
, et M = 4 7 5 −1
!
Exercice XXII.
1. Montrer que les vecteurs u1= (2,0,1), u2= (2,2,1) et u3= (1,2,0) forment une base deR3puis, déterminer les coordonnées du vecteur u= (−5,4,6) dans cette base.
2. Montrer que les matricesA = −1 1 1 −1
!
,B = −1 0
1 −1
!
,C = 0 1
1 0
!
etD = −1 −1
−1 0
!
forment
une base deM2(R)puis, déterminer les coordonnées de la matrice 3 2 6 5
!
dans cette base.
3. Montrer que les polynômes définis surRpar P1(x) = 1 +x3, P2(x) =−x+x3, P3(x) =x2+x3 et P4(x) =x3 forment une base deR3[x]puis, déterminer les coordonnées de P(x) = 2−3x+x2−4x3 dans cette base.
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