C.B. N° 10
ESPACES VECTORIELS
16/04/13APPLICATIONS LINEAIRES
1.
Les ensembles suivants sont-ils des R- espaces vectoriels ? Si oui, en donner une base.i) E = { (x ; y ; z ; t) ∈ R4 / 2 x + 5y – z = 0 }.
ii) F = { (x ; y ; z ; t) ∈ R4 / 2x – y – z + t = 0 et x + y – t = 0 }.
iii) G = { (x ; y ; z) ∈ R3 / (x + y – z)2 = (2x + y)2 }.
2.
On considère dans ℝ4 les vecteurs suivants :u = (-1 ; 1 ; 1 ; 0), v = (2 ; 1 ; -1 ; 0), w =(1 ; 1 ; 1 ; 1), x = (0 ; 0 ; 1 ; 0) et y = (1 ; 1 ; 0 ; -2).
Soient E = Vect{u ; v ; w} et F = Vect{x ; y} .
a) Quelles sont les dimensions de E et F ? b) Déterminer une base de E ∩ F.
c) Déterminer une base de E + F .
3.
Les applications suivantes sont-elles linéaires ? Si oui, en déterminer le noyau et l’image.i) f1 : ℝ3→ℝ3 / f1 ( x ; y ; z ) = ( x + 2y – z ; x + y ; z).
ii) f2 : ℝ3→ℝ3 / f2 ( x ; y ; z ) = ( x + y – z2 ; x + y ; z).
iii) f3 : ℝ2→ℝ3 / f3 (x ; y) = ( x + y ; x – y ; x ).
iv) f4 : ℝ3→ℝ2 / f4 (x ; y ; z) = ( x + y + z ; x – y – 2z ).
C.B. N° 10
ESPACES VECTORIELS
16/04/13APPLICATIONS LINEAIRES
1. Les ensembles suivants sont-ils des R- espaces vectoriels ? Si oui, en donner une base.
i) E = { (x ; y ; z ; t) ∈ R4 / 5x + y – 2z = 0 }.
ii) F = { (x ; y ; z) ∈ R3 / (y – z)2 = (x + y + z)2 }.
iii) G = { (x ; y ; z ; t) ∈ R4 / x + y – 2z + t = 0 et x + z – t = 0 }.
2. On considère dans ℝ4 les vecteurs suivants :
u = (0 ; 1 ; 1 ; -1), v = (0 ; 1 ; -1 ; 2), w =(1 ; 1 ; 1 ; 1), x = (0 ; 0 ; 1 ; 0) et y = (-2 ; 1 ; 0 ; 1).
Soient E = Vect{ u ; v ; w} et F = Vect{x ; y} .
a) Quelles sont les dimensions de E et F ? b) Déterminer une base de E ∩ F.
c) Déterminer une base de E + F .
3.
Les applications suivantes sont-elles linéaires ? Si oui, en déterminer le noyau et l’image.i) f1 : ℝ3→ℝ3 / f1 ( x ; y ; z ) = ( 2x + y – z ; x + z ; y).
ii) f2 : ℝ2→ℝ3 / f2 (x ; y) = ( x – y ; x + y ; y ).
iii) f3 : ℝ3→ℝ3 / f3 ( x ; y ; z ) = ( x2 + y – z ; x + y + z ; z).
iv) f4 : ℝ3→ℝ2 / f4 (x ; y ; z) = ( 2x + y – z ; x + y – z ).
