Exercice 1. Parmi les ensembles suivants, d´ eterminer ceux qui sont des sous-espaces vectoriels de R

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UNIVERSIT ´ E PIERRE ET MARIE CURIE Ann´ ee 2008/2009

MIME 13 LM 120

Feuille d’exercices 5

Exercice 1. Parmi les ensembles suivants, d´ eterminer ceux qui sont des sous-espaces vectoriels de R

³

:

F

1

= {(x, y, z) ∈ R

³

/ y = 0}

F

2

= {(x, y, z) ∈ R

³

/ xy = 0}

F

3

= {(x, y, z) ∈ R

³

/ z = x + y}

F

4

= {(x, y, z) ∈ R

³

/ y = x

²

}

F

5

= {(x, y, z) ∈ R

³

/ x, y et z sont irrationnels.}

F

6

= {(x, y, z) ∈ R

³

/ x + y = z et z = 4x}

F

7

= {(x, y, z) ∈ R

³

/ z = x et y = 0}

F

8

= {(x, y, z) ∈ R

³

/ z = x et y = 1}

F

₉

= {(2α + 3β, β − α, 7β) ∈ R

³

o` u α, β ∈ R }.

Exercice 2. Dans R

³

, on consid` ere l’ensemble E des vecteurs (x, y, z) tels que x + 2y − z = 0.

(a) Montrer que E est stable par combinaison lin´ eaires.

(b) L’ensemble des vecteurs (x, y, z) de R

³

tels que x+2y−z = 1 est-il stable par combinaisons lin´ eaires ?

Exercice 3. On consid` ere les deux sous-ensembles de R

⁴

suivants :

F = {(a, b, c, d) ∈ R

⁴

| a = b, c = d}, G = {(a, b, c, d) ∈ R

⁴

| a + b − c = 0}.

1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R

⁴

.

2. D´ eterminer pour F une famille libre et g´ en´ eratrice. Mˆ eme question pour G.

3. D´ eterminer F ∩ G et F + G.

Exercice 4. On consid` ere F et G les sous-ensembles de R

³

d´ efinis de la mani` ere suivante : F = {(x, y, z) ∈ R

³

| x + y + z = 0} et G = {(x, y, z) ∈ R

³

| x = y = z}.

1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R

³

. D´ eterminer F ∩ G.

2. Montrer que tout vecteur de R

³

peut s’´ ecrire de mani` ere unique comme somme d’un vecteur de F et d’un vecteur de G.

3. Que peut-on dire de la somme F + G ?

Exercice 5. On consid` ere les trois vecteurs de R

⁴

e

1

= (1, 1, 2, 4), e

2

= (−1, 1, 3, 2) et (3, 0, 1, 2).

(a) Donner une ´ equation cart´ esienne de F := Vect(e

1

, e

2

, e

3

).

(b) Soit e

⁰₃

= (1, 4, −2, 1). Donner une ´ equation cart´ esienne de F

⁰

:= Vect(e

1

, e

2

, e

⁰₃

).

(c) Montrer que F ∩ F

⁰

= Vect(e

1

, e

2

).

(d) Donner des ´ equations cart´ esiennes d´ efinissant F ∩ F

⁰