Exercice 3 - Produit d’un vecteur par un réel (Révisions)

PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.2:GÉOMÉTRIEANALYTIQUEFICHE1

Exercice 1 - Somme de vecteurs (Révisions)

La figure ci-contre est constituée de carrés.

Déterminer un représentant du vecteur somme :

1) AB +^−→ BD ;^−→

2) AB +^−→ AE ;^−→

3) AB +^−→ AG ;^−→

4) AB +^−→ DE ;^−→

5) FH^−→−DH ;^−→

6) ^−→FI −^−→BI ; 7) GE^−→ −AE ;^−→

8) ^−→BF−DB ;^−→

H I

G

F E D

A B C

Exercice 2 - Somme de vecteurs (Révisions)

ABCD est un rectangle de centre O.

I, J et K sont les milieux de [AB], [AD] et [BC].

Reproduire et compléter les égalités suivantes : 1) En utilisant la relation de Chasles

a) ^−→JI =−→ J+−−→

O b) AC=^−→ −→

I +−→ I c) −→

D=−−→

K +−→

C

2) En utilisant la règle du parallélogramme a) AB +^−→ −→

A=AC^−→

b) ^−→AJ +^−→AI=−→

c) BK +^−→ −→

=BD^−→

Exercice 3 - Produit d’un vecteur par un réel (Révisions)

[AB] est un segment de longueur 6 cm.

Placer les points C, D, E , F et G tels que : a) AC=^−→ 2

3 AB.−→

b) AD=^−→ 5 6

AB.−→

c) AE=^−→ −1 2

AB.−→

d) ^−→BF=−2AB.^−→

e) BG=^−→ −3 2

AB.−→

Exercice 4 - Révisions

Déterminer les coordon- nées des vecteurs :

a) ^−→u b) 2^−→u

c) −3^−→u d) 1

4

−→u

e) ^−→v f) 5^−→v g) 2

3

−→v h) −1

4

−→v i) 4^−→u −3^−→v

O I

J

x

→y

u

→

v

PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.2:GÉOMÉTRIEANALYTIQUEFICHE2

Exercice 5

Les vecteurs^→u et^→v sont-ils colinéaires ? 1) ^→u

2√ 33

et ^→v 4 2√ 3

2) ^→u 5

−10

et^→v 2

4

3) ^→u

1−√ 1 5

et ^→v

5−√ 5

−√ 5

4) ^→u







 1 3

−4 7







et^→v







 1 4

−3 7









Exercice 6

Trouvermpour que les deux vecteurs soient colinéaires.

1) ^→u 3

−2

et ^→v m

4

2) ^→u

−3

−m

et ^→v

−3m 4

Exercice 7

Dans un repère (O ; I, J), on donne les points : A(−2 ; 1), B(3 ; 3), C

1 ; 11 5

et D

45 2 ; 54

5

a) Démontrer que les points A, B, C sont alignés.

b) Les points A, B, D sont-ils alignés ?

Exercice 8

Dans un repère (O ; I, J), on donne les points : A(−1 ; 4), B(−1 ;−1),C(5 ; 1), D(8 ;−8).

Le point E est le milieu du segment [BC].

1) Calculer les coordonnées du point E.

2) Montrer que le point D appartient à la médiane du triangle ABC issue de A.

3) Le quadrilatère ABDC est-il un parallélogramme ?

Exercice 9

Dans un repère (O ; I, J), on donne les points : A(6 ; 3), B(−3 ; 0),C(5 ; 4), D(−1 ; 1).

1) Montrer que les droites (OA) et (BC) sont parallèles.

2) Les points B, C, D sont-ils alignés ?

3) Déterminery pour que le point M(25 ;y) appartienne à la droite (AB).

Exercice 10

Dans un repère (O ; I, J), on donne les points : A(−2 ; 5), B(6 ; 1),C(4 ;−3), D(−4 ; 1).

1) Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

2) Montrer que le triangle ABD est rectangle en A.

3) En déduire la nature du quadrilatère ABCD.

PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.2:GÉOMÉTRIEANALYTIQUEFICHE3

Exercice 11 - Choisir un repère

Sur la figure ci-contre :

• ABCD est un parallélogramme.

• E est le milieu du segment [AD] ;

• F est e symétrique de B par rapport à D ;

• le point G est tel que : AG=−→ 1

3 AB−→

1) Donner - sans calcul - les coordonnées des points B, D, E et G de la figure dans le repère (A ; B, D).

2) Calculer les coordonnées du point F.

3) Démontrer que les points E, F, G sont ali- gnés.

A B

C D

F

G E

Exercice 12 - Choisir un repère

ABCD est un parallélogramme. On considère les points E et F tels que : AE=−→ 3

4

AD−→ ^−→BF=−1 4

AB−→

1) On se place dans le repère (A ; B, D).

Déterminer les coordonnées des points B, D, E et F dans ce repère.

2) Démontrer que les droites (EF) et (BD) sont parallèles.

Exercice 13 - Relation de Chasles

ABCD est un parallélogramme. Les points E et F sont tels queBE=^−→ 3 4

AB et−→ DF=^−→ −1 3

DA−→

1) Réaliser une figure.

2) Exprimer les vecteursCE et^{−→ −→}BF en fonction deAB et^−→ AD.^−→

3) En déduire que les droites (CE) et (BF) sont parallèles.

Exercice 14 - Relation de Chasles

On considère un triangle ABC. Soit M le point du plan tel que : MA +−→ MB +^−→ MC=^{−→ →}O On note I, J, K les milieux respectifs de [BC], [AB], [AC].

1) En introduisant le point I dans chaque vecteur, démontrer que^−→IM= 1 3

−→IA.

2) De la même façon démontrer queJM=^−→ 1 3

−→JC etKM=^−→ 1 3

KB.−→

3) Que représente le point M pour le triangle ABC ?

Exercice 15

Dans un repère (O ; I, J) on considère le point A(2 ; 3). Tracer les droites D1, D2, D3, D4passant par le point A et de vecteur directeur respectif :

u→1

2 1

; u^→2

−1 1

; u^→3

18

−24

→

u4

0 3

.

PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.2:GÉOMÉTRIEANALYTIQUEFICHE4

Exercice 16 - Vecteurs directeurs

On considère les droites D1, D2, D3, D4, D5sui- vantes :

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

0

D1

D2

D3

D4

D5

On propose les vecteurs directeurs suivants : u→1

5 2

; u^→2

2

−3

; u^→3

7 3

u→₄

−2 5

→

u₅ 7

−3

.

Associer droites et vecteurs directeurs.

Exercice 17

Dans un repère, on considère la droite ∆ d’équation : y= 2x−3 1) Donner un vecteur directeur de ∆.

2) Donner un vecteur directeur de ∆ ayant pour deuxième coordonnée 3.

Exercice 18

Soit la droitedd’équation 3x+ 2y−5 = 0.

1) Déterminer les points d’intersection dedavec les axes de coordonnées.

2) Tracerddans un repère orthonormé (O ; I, J).

3) Donner un vecteur directeur de la droited.

4) Donner le vecteur directeur dedayant pour première coordonnée 7.

Exercice 19 - Équations de droites

Déterminer une équation cartésienne de la droite D passant par le point A et de vecteur directeur

→u dans chacun cas :

•A(1 ; 2) et^→u −1

3

•A(−2 ; 3) et^→u 0 3

•A(0 ; 0) et ^→u 2

1

•A(−5 ;−2) et^→u 1

−4

Exercice 20

Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB) dans chacun cas :

•A(−3 ; 1) et B(1 ; 9)

•A(0 ; 5) et B(3 ;−15) •A(−5 ; 2) et B(9 ; 2)

•A(−2 ;−5) et B(2 ;−3)

PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.2:GÉOMÉTRIEANALYTIQUEFICHE5

Exercice 21

Reproduire et compléter le tableau suivant où A et B sont deux points d’une droite D de vecteur directeur^→u et de coefficient directeurm.

A B ^→u Équation Coef. dir.

(2 ; 5) (1 ; 0)

2x−3y+ 2 = 0

(0 ; 0) −3

4 y=−2x+ 5

(3 ; 5) ^→u 1

−4

Exercice 22

La droite D⁰ est parallèle à la droite D et passe par le point A.

Dans chaque cas déterminer une équation de la droite D⁰ :

•A (−2 ; 1) et D : 2x+ 3y−1 = 0

•A (−5 ; 2) et D :y=x

•A (2 ; 4) et D : 4x−5y+ 1 = 0

•A (2 ;−1) et D :y= 2x−5

Exercice 23

On considère les points du plan A (−2 ;−2) et B (4 ; 1), C (2 ; 3) et le vecteur^→u

−4

−2

1) Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB).

2) Déterminer une équation cartésienne de la droite d passant par le point C et de vecteur directeur^→u.

3) Les droites (AB) etdsont-elles sécantes ?

Exercice 24 - Intersections

Dans chaque cas, préciser si les droites ∆ etdsont sécantes. Si oui, déterminer les coordonnées de leur point d’intersection :

•∆ : 2x+y+ 3 = 0 etd:y=−x 2 + 1

•∆ : 2x+ 3y= 4 etd:−2x+ 3y= 8

•∆ :x−2y= 2 etd: 3x+y= 20

Exercice 25

Dans un repère (O ; I, J), on considère les points :

A (−2 ; 5), B (4 ; 2), C (−3 ; 1), D (7 ; 5) 1) Justifier que les droites (AB) et (CD) sont sécantes.

2) Déterminer les coordonnées du point d’intersection des droites (AB) et (CD).

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Exercice 26

Dans un repère (O ; I, J), on considère les points :

A (2 ; 3), B (−2 ; 5), C (3 ;−2) 1) Déterminer les coordonnées du milieu E du segment [BC].

2) Déterminer une équation cartésienne de la médiane du triangle ABC issue du sommet A.

3) Justifier que le point G (1 ; 2) est le centre de gravité du triangle ABC.