Sup PCSI2 — Contrˆole 2005/05
◮Avant de lire l’´enonc´e, prenez connaissance des directives ´enum´er´ees en bas de la deuxi`eme page !
Exercice 1
Q1 Montrez que la fonctionf : x6= 07→xsin³1 x
´est prolongeable par continuit´e en 0.
Q2 La fonctionf, ainsi prolong´ee, est-elle d´erivable en 0 ? Q3 Montrez que la fonctiong: x6= 07→x2sin³1
x
´est prolongeable par continuit´e en 0.
Q4 La fonctiong, ainsi prolong´ee, est-elle d´erivable en 0 ? Q5 g est-elle de classeC1?
◮La fonctionh: x6= 07→x3sin³1 x
´est prolongeable par continuit´e en 0, puisqueh(x)−−→
x→0 0. Nous noterons encorehla fonction ainsi prolong´ee.
Q6 hest-elle d´erivable en 0 ? Q7 hest-elle de classeC1?
Exercice 2
◮Voici des assertions au sujet de fonctions de R dans R. Pour chacune d’elles, il vous faut dire si elle est vraie (preuve d´etaill´ee `a l’appui) ou fausse (en exhibant un contre-exemple). Une r´eponse exacte mais non justifi´ee ne rapportera aucun point.
Q1 Sif et gsont strictement monotones, alors f−g est strictement monotone.
Q2 Sif et gsont monotones, alorsf−g est monotone.
Q3 Sif et gsont croissantes, alorsf g est croissante.
Q4 Sif(x) est uno¡ g(x)¢
lorsquextend vers +∞, alorsef(x)est uno¡ eg(x)¢
lorsquextend vers +∞.
Q5 Si sin¡ f(x)¢
−−−−→
x→+∞ 0, alors f(x)−−−−→
x→+∞ 0.
Q6 Si arctan¡ f(x)¢
−−−−→
x→+∞ 0, alors f(x)−−−−→
x→+∞ 0.
Q7 Sif est d´erivable et born´ee, alorsf′ est ´egalement born´ee.
Q8 Sif est lipschitzienne, alors elle est d´erivable.
Q9 Sif est d´erivable, alors elle est lipschitzienne.
Q10 Sif2(x) +f(x)−−−−→
x→+∞ +∞, alorsf(x)−−−−→
x→+∞ +∞.
Q11 Sif est d´erivable et bijective, et si f◦gest d´erivable, alorsg est d´erivable.
Q12 Sif(x) est unO¡ g(x)¢
lorsquextend vers +∞, alorsef(x)est unO¡ eg(x)¢
lorsquextend vers +∞.
Tournez S.V.P.
Exercice 3 : produit de deux groupes
Q1 Soit ⋆une loi sur en ensembleE. Quand dit-on que la loi⋆est associative ?
Q2 Donnez deux exemples de couples (E, ⋆) tels que⋆soit une loi non associative sur l’ensembleE.
Q3 Rappelez la d´efinition d’un groupe (G, ⋆).
◮GetH sont deux groupes not´es multiplicativement ; les neutres de ces deux groupes seront not´eseG et eH
respectivement. Rappel :G×H est l’ensemble des couples (x, y) o`ux∈Get y∈H.
◮Soient (x, y) et (u, v) deux ´el´ements deG×H. Notons (x, y)⊗(u, v) le couple (xu, yv) ; il est clair que nous d´efinissons ainsi une loi⊗surG×H.
Q4 Montrez que cette loi est associative.
Q5 Explicitez le neutre de cette loi.
Q6 Soit (x, y)∈G×H. Montrez que (x, y) poss`ede un sym´etrique pour la loi⊗, que vous expliciterez.
Q7 Montrez que ⊗est commutative ssi les deux groupesGetH sont commutatifs.
◮Rappel : pourn>1,Un est le groupe (multiplicatif) des racinesn-i`emes de l’unit´e.
Q8 Dressez la table du groupeU4.
Q9 Montrez que le groupeU2×U3est isomorphe `a U6.
Exercice 4
◮Notonsf : t >17→ t ln(t).
Q1 ´Etudiez rapidement les variations def, en pr´ecisant les limites aux bornes de son intervalle de d´efinition.
◮Pourn>3, notonsun= Z n+1
n
f(t)dt. On rappelle quee <3.
Q2 Prouvez que la suite (un)n>3est croissante.
Q3 La suite (un)n>3est-ellestrictement croissante ?
Q4 Donnez un ´equivalent simple deun lorsque ntend vers l’infini.
Q5 Montrez que l’´equation f(x) = un poss`ede, dans l’intervalle [n, n+ 1], une et une seule solution, qui sera d´esormais not´eexn.
◮Nous nous proposons d’´etudier la suite (xn)n>3. Q6 Cette suite est-elle monotone ?
Q7 Cette suite converge-t-elle ?
Q8 Donnez un ´equivalent simple dexn lorsque ntend vers l’infini.
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees. Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie.
Qu’on se le dise.
[Contr^ole 2005/05] Compos´e le 11 juin 2008
