Exercice 2 : test de connaissances sur les fonctions

Sup PCSI2 — Contrˆole 1998/05

Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees. Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie.

Qu’on se le dise.

Exercice 1

Q1 Question pr´eliminaire, sans aucun rapport avec la suite : simplifiez An = X

06k6n

C^k_n²

. Le correcteur appr´ecierait vivement que vous lui proposiezdeux m´ethodes diff´erentes.

IPourn∈N, on noteSn= X

06k6n

C^k_2kC^n−k_2n−2k.

Q2 R´edigez une fonction Maple qui calculeSn pourndonn´e.

Q3 Calculez Sn pour n ∈ [[0,3]]. Vous commencerez par dresser (sans justifications) le tableau des C^k_n pour 06k6n66 ; vous ferez ensuite apparaˆıtre sur votre copie les calculs interm´ediaires pour chaqueSn. Q4 Au vu des r´esultats pr´ec´edents, quelle expression simple deSn conjecturez-vous ?

INous nous proposons d’´etablir de diff´erentes fa¸cons le r´esultat que nous venons de conjecturer.

IPremi`ere m´ethode : on noteI = ]−∞,1/4[ etϕ: x∈ I 7→ 1

√1−4x. Q5 Justifiez bri`evement l’appartenance deϕ`aC^∞(I,R).

Q6 Montrez qu’il existe des r´eelsan et bn (qui d´ependent de n, mais pas dex) tels queϕ⁽ⁿ⁾(x) =an(1−4x)^bn pour toutx <1/4. Notez bien que, dans cette question, on ne vous demande pas d’expliciteran etbn. Q7 Donnez des expressions simples de an etbn.

Q8 ´Ecrivez alors leDLn(0) deϕ. Vous ferez apparaˆıtre des coefficients binomiaux.

Q9 Observez le coefficient dexⁿ dans leDLn(0) deϕ²pour obtenir l’expression simplifi´ee deSn. IDeuxi`eme m´ethode : pourn∈N, on note fn: x∈R7→ X

06k6n

C^k_2kCⁿ_2n⁻−^k2kx^n−k.

Q10 Pourx6= 0, justifiez la relationxⁿfn

1 x

=fn(x).

Q11 D´eduisez-en une relation entrefn⁰(1) et fn(1).

Q12 Voyez-vous une autre fa¸con d’´etablir cette relation ? Q13 Prouvez quef_n+1⁰ (x) = 4xf_n⁰(x) + 2fn(x).

Q14 D´eduisez-en une relationtr`es simple entrefn+1(1) et fn(1) et concluez.

Tournez S.V.P.

Exercice 2 : test de connaissances sur les fonctions

IVoici des assertions au sujet de fonctions de R dans R. Pour chacune d’elles, il vous faut dire si elle est vraie (preuve d´etaill´ee `a l’appui) ou fausse (en exhibant un contre-exemple). Une r´eponse exacte mais non justifi´ee ne rapportera aucun point.

Q1 Sif et gsont strictement monotones, alorsf −gest strictement monotone.

Q2 Sif et gsont monotones, alorsf−g est monotone.

Q3 Sif et gsont croissantes, alorsf gest croissante.

Q4 Sif(x) est uno g(x)

lorsquex tend vers +∞, alorse^f(x)est uno e^g(x)

lorsquex tend vers +∞. Q5 Si sin f(x)

−−−−→_x→+∞ 0, alorsf(x)−−−−→_x→+∞ 0.

Q6 Si arctan f(x)

−−−−→_x→+∞ 0, alorsf(x)−−−−→_x→+∞ 0.

Q7 Sif est d´erivable et born´ee, alorsf⁰ est ´egalement born´ee.

Q8 Sif est lipschitzienne, alors elle est d´erivable.

Q9 Sif est d´erivable, alors elle est lipschitzienne.

Q10 Sif²(x) +f(x)−−−−→_x→+∞ +∞, alorsf(x)−−−−→_x→+∞ +∞. ILes questions suivantes sont plus difficiles. . . Q11 Sif(x²) +f(x)−−−−→_x→+∞ +∞, alorsf(x)−−−−→_x→+∞ +∞. Q12 Si f(x) est un o g(x)

lorsque x tend vers +∞, alors il existe un exposant α > 0 et un r´eel A tels que x^α

f(x) 6

g(x)

pour toutx>A.

[Contr^ole 1998/05] Compos´e le 13 mai 2006