Dire si les fonctions suivantes sont des fonctions affines

Seconde 12 DS 5 : Correction 19 janvier 2018

Exercice 1 : Une ou 2 ´equations (5 minutes) (2 points)

R´esoudre dans R

1. (x−2)(2x+ 5) = 0 2. (x−3)²−25 = 0

Solution:

1. Les solutions sont 2 et−⁵₂ 2. Les solutions sont 8 et 2

Exercice 2 : Fonction affine (10 minutes) (4 points)

1. Dire si les fonctions suivantes sont des fonctions affines. Justifier.

(a) f(x) = 5x+ 3 (b) g(x) =x²+ 1

2. Repr´esenter sur un graphique les fonctions affines suivantes :

(a) f(x) = 3x+ 2 (b) g(x) = ¹₃x− ²₃

3. Donner le tableau de signes de la fonction f d´efinie par f(x) =−2x+ 4 sur R. Solution:

1. (a) Elle est affine.a= 5 etb= 3.

(b) Elle n’est pas affine. En effetg(1)−g(0) = 2−1 = 1 et g(2)−g(1) = 4 et 46= 1.

2. (a) On utilise les points A(0; 2) et B(2; 7).

(b) On utilise les points C(2; 0) et D(5; 1).

3. −2x+ 4>0 ssix <2. On obtient le tableau :

x f(x)

−∞ 2 +∞

+ 0 −

Exercice 3 : Questions sur les vecteurs (10 minutes) (4 points) 1. SoientA(5;−2), B(8; 2) et C(−1;−9).

(a) Calculer les coordonn´ees de −−→ AB et−−→

CB (b) Les points A,B etC sont-ils align´es ? 2. Soient A(−√

5; 0), B(−1;−1), C(3; 2) et

D(−1;√ 5 + 3)

(a) Calculer les coordonn´ees de −−→

AB et−−→

CD.

(b) Les droites (AB) et (CD) sont-elles pa- rall`eles ?

3. D´eterminer le nombre r´eel x tel que les vecteurs :~u ²₃

et~v ^1+x_2x

,soient colin´eaires.

Solution:

1. (a) On a−−→ AB ³₄

et−−→ CB ₁₁⁹

.

(b) 3×11−4×9 = 33−36 =−36= 0, donc les vecteurs−−→ ABet−−→

CB ne sont pas colin´eaires, donc les points ne sont pas align´es.

2. (a) On a−−→ AB ⁻¹⁺

√5

−1

et−−→

CD ^√−4₅₊₁ . (b) (−1 +√

5)×(√

5 + 1)−4 = 5−1−4 = 0. Les vecteurs −−→

ABet −−→

CD sont donc colin´eaires, les droites (AB) et (CD) sont donc parall`eles.

3. Pour que les vecteurs soient colin´eaires, il suffit que (1 +x)×3−2×2x= 0 ⇔ 3−x = 0 donc quex= 3.

Exercice 4 : Algorithme si (5 minutes) (2 points)

Seconde 12 DS 5 Page 2 de 3 Voici ci-contre un langage ´ecrit en langage Python.

Dans chaque question, un justification est demand´ee.

1. `A la fin du programme, combien vaut la variable b?

2. Si on affecte 5 `a la variable, combien vaut la variableb `a la fin du programme ?

a = 7 b = 12 if a > 5 :

b = b − 4 if b >= 10 :

b = b + 1

Solution:

1. a >5 donc b=b−4 = 8, puis b <10, donc breste `a 8

2. a= 5 donc, on ne rentre pas dans le premier if, puis b >10 donc b=b+ 1 = 13, bvaut 13.

Exercice 5 : Probl`eme (15 minutes) (5 points)

Une revue n’est distribu´ee que sur abonnement annuel. Le nombre d’abonn´eesA(x) est donn´e en fonction du prix x de l’abonnement en euros par :A(x) =−50x+ 12500 pour x>0.

1. Si l’abonnement est fix´e `ax= 50e, quel est le nombre d’abonn´esA(x).

2. (a) Quel est le sens de variations de la fonctionA?

(b) Comment ´evolue le nombre d’abonn´es quand le prix de l’abonnement augmente ? (c) De combien varie le nombre d’abonn´es quand le prix augmente de 1e.

3. (a) Pour quelles valeurs dex a-t-onA(x)>0 ? (b) Interpr´eter.

4. La recette est la somme re¸cu par la vente des abonnements.

(a) Le prix de l’abonnement est 50e. Quelle est la recette correspondante ?

(b) Le prix de l’abonnement estx (06x6250). Montrer que la recette estR(x) =−50x²+ 12500x.

(c) `A l’aide de la calculatrice, conjecturer le prix de l’abonnement qui semble assurer la recette maximale.

Solution:

1. A(50) = 10000, le nombre d’abonn´ees sera de 10000.

2. (a) Le coefficient directeur est n´egatif, A est donc d´ecroissante.

(b) Le nombre d’abonn´es diminue lorsque le prix augmente.

(c) Le coefficient directeur est de−50, le nombre d’abonn´es diminue de 50 lorsque le prix augmente de 1 euro.

3. (a) A(x)>0⇔ −50x+ 12500>0⇔x6250 ; (b) Au dessus de 250 euros, il n’y a plus d’abonn´es.

4. (a) Si l’abonnement coˆute 50 euros, la recette sera de 50×A(50) = 500000 euros.

(b) Si l’abonnement coˆute x euros, la recette sera de x×A(x) = x(−50x+ 12500) = −50x²+ 12500x.

(c) `A la calculatrice, on conjecture que pour un prix de 125 euros, on aura une recette maximale.

Exercice 6 : Questions plus difficile sur les vecteurs (10 minutes) (3 points) Soit ABC un triangle non aplati.

1. Construire les points M etN tels que −−→

AM =−−→

BC+¹₂−→

AC et−−→

AN = 2−−→

AB+ 3−−→ BC.

2. Montrer que les droites (M N) et (AC) sont parall`eles.

Seconde 12 DS 5 Page 3 de 3 Solution:

1.

A B

C

M

1 2

−→AC

−−→ BC

N 2−→

AB

3−→

AC

2. Avec la relation de Chasles, on a

−−→M N =−−→

M A+−−→

AN

=− −−→

BC+1 2

−→AC

+ 2−−→

AB+ 3−−→ BC

=−1 2

−→AC+ 2−−→

AB+ 2−−→ BC = 3

2

−→AC.

Les vecteurs −−→

M N et −→

AC sont colin´eaires, les droites (M N) et (AC) sont donc parall`eles.