FONCTIONS AFFINES - DROITES
I ) FONCTIONS AFFINES
Définition :
On appelle fonction affine toute fonction définie sur ℝ par f (x) = m x + p où m et p sont des réels.
Remarque : quand p = 0 on dit que c’est une fonction linéaire.
quand m = 0 on dit que c’est une fonction constante.
Propriété :
Dans un repère la représentation d’une fonction affine définie par f (x) = m x + p est une droite D d’équation réduite y = m x + p, non parallèle à l'axe des ordonnées, de coefficient directeur m et passant par le point P ( 0 ; p ). p s’appelle l’ordonnée à l’origine de D.
Ex 1 FP ( tracer courbes représentatives de fonctions affines et des fonctions affines par intervalles) ex 113 p 184 : tracer des droites connaissant les équations
Remarque : - Si p = 0 alors D passe par l’origine.
- Si m = 0 alors D : y = p est parallèle à l’axe des abscisses.
II ) DROITES
Propriété :
- Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation réduite y = mx+p et est donc la représentation graphique d'une fonction affine ( f(x) = mx+p).
- Les droites parallèles à l’axe des ordonnées ne sont pas la représentation d’une fonction affine.
Leur équation est x = k.
Propriété :
- Si f (x) = mx + p , pour a et b distincts, m=fb– fa
b – a - Le coefficient directeur de la droite (AB) est m=yB– yA
xB– xA Propriété :
Deux droites d'équations y = mx+p et y = m'x+p sont parallèles si et seulement si m = m' Exercices:
77 p 177 lire graphiquement des équations de droites
Ex 2 FP déterminer une fonction affine connaissant deux images
déterminer une fonction affine connaissant deux points de passage de sa courbe déterminer une équation de la droite (AB)
Ex 3 FP (droites parallèles)
Ex 4 FP (points alignés et (AB)//(CD))
Ex 5 FP ( problème concret se ramenant à des fonction affines)
III ) VARIATIONS DES FONCTIONS AFFINES Propriété :
Soit la fonction affine f définie par f (x) = m x + p.
Si m > 0 alors f est croissante.
Si m < 0 alors f est décroissante.
Si m = 0 alors f est constante.
Démonstration : Soit a < b alors f(b) – f(a) = m(b – a)
Si m > 0, f(b)-f(a) et (b-a) sont de même signe donc f est croissante.
Si m > 0, f(b)-f(a) et (b-a) sont signes contraires donc f est décroissante.
Si m=0, f(b) = f(a) donc f est constante.
Exercices : EX 7 PF
IV ) TABLEAU DES SIGNES D'UNE FONCTIONS AFFINES EX 8 PF
Régle générale :
x –∞ -p/m +∞
signe de (mx+p) signe(-m) 0 signe(m)
Dans tous les exercices le plan est muni d'un repère orthonormé.
EX 1 : 1) Tracer les représentations graphiques des fonctions définies par f (x) = 3 x- 6 ; g (x) = - 2 x +4 h (x) = 2
3 x et i(x) = 5
2) Tracer la courbe représentative de la fonction f définie sur [-4;6] par f(x) = –1 2x+1 3) Tracer la courbe représentative de la fonction g définie sur ]-2;4] par g(x) = 3 x – 4 4) Tracer la courbe représentative de la fonction h définie sur [-3;+∞[ par h(x) = 2x+3 5) Soit la fonction j définie sur [-3;6] par :
j(x) = 2 x + 4 si x ∈ [-3;1]
j(x) = - 2 x + 8 si x ∈ ]1;3[
j(x) = x – 4 si x ∈ [3;6]
a) Calculer les images de 5 3 ; 22
7 et 7 8 par j.
b) Tracer la courbe représentative de j.
EX 2 : a) Déterminer la fonction affine f telle que f(2) = -5 et f(-1) = 4
b) Déterminer la fonction affine g dont la courbe représentative passe par les points A(1 ; -1) et B ( -2 ; -7)
c) Déterminer l'équation réduite de la droite passant par A(4;3) et B(-1;1).
EX 3 : 1) Déterminer l'équation réduite de la droite D' parallèle à D : y = 2x +4 passant par A ( 8, - 9) 2) Soit A(1;2) et B(5,-3).
Déterminer l'équation réduite de la droite D parallèle à (AB) passant par C( 5;8).
EX 4 : 1) Les points A(-3;-2) B(-1;2) et c(0;4) sont-ils alignés ?
2) soit les points A(-1;-2) B(1;2) c(2;-3) et D(3;-2). Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles.
EX5 Ex 6
EX 7 : Déterminer les variations des fonctions définies par f (x) = 3 x + 4 et g (x) = - 2x + 3 EX 8:
1) Résoudre les inéquations 2 x + 9 > 0 et 2 x + 9 < 0 et récapituler ces résultats dans le tableau suivant.
x –∞ +∞
signe de (2 x + 9) 0
2) Résoudre les inéquations - 5 x + 11 > 0 et - 5 x + 11 < 0 et récapituler ces résultats dans le tableau suivant.
x –∞ +∞
signe de (-5 x + 11) 0
