Exercice I Les assertions suivantes sont-elles vraies ? Pour chaque question on justifiera la réponse : soit par une démonstration soit par un contre-exemple. . Toute partie non ouverte de R

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L I C E N C E

BORDEAUX 1

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UNIVERSITÉ

D é p a r t e m e n t L i c e n c e

D L

ANNÉE UNIVERSITAIRE 2007 /2008 SS ’A

ETAPE : L2 UE MHT302

ÉpreuveAnalyse Date :.. .....

Heure :.. Heure ... Durée :Heures Épreuve deMonsieur :Charpentier Philippe TousDocumentsInterdits

Exercice I Les assertions suivantes sont-elles vraies ?

Pour chaque question on justifiera la réponse : soit par une démonstration soit par un contre-exemple.

. Toute partie non ouverte deRⁿest fermée.

. Une union quelconque d’ouverts deRⁿ est ouverte.

. Une union quelconque de fermés deRⁿest fermée.

. Une boule ouverte deRⁿ, pour la distance euclidienne, est compacte.

. Une boule fermée deRⁿ, pour la distance euclidienne, est compacte.

. L’ensemble^©¡x,y¢∈R²tels que^x2+3y⁴≤1ª

est un compact.

. L’ensemble^©¡x,y¢

∈R²tels quex+3y²≤1ª

est un compact.

. L’image par une application continue deRⁿdansRⁿd’un fermé est fermée.

. L’image par une application continue deRⁿdansRⁿd’un compact est fermée.

. L’image réciproque par une application continue deRⁿ dansRⁿd’un compact est compacte.

Exercice II

Soit^Aun compact deRet^Bun fermé deR²contenu dansR×A. On désigne par^pla première projection^¡x,y¢7→x. Soit (x_n)_n une suite d’éléments de^p(B)qui converge vers un point^x∈R.

. Montrer que, pour toutⁿ∈N, il existe^yn∈Atel que^¡xn,y_n¢

∈B.

. Indiquer pourquoi il existe une sous-suite^³ynp

´

pde la suite^¡yn

¢

n qui converge vers un point^y∈R.

. Que peut-on dire de la suite^³³xn_p,yn_p

´´

p?

. Conclure que^p(B)est fermé.

Exercice III Soit^{f :}R²→Rla fonction définie par

f(x,y)=

( _x2sinx

x²+y² si(x,y)6=(0, 0), 0 si(x,y)=(0, 0).

T.S.V.P.

. Montrer que^f est continue surR².

. Montrer que^f est différentiable surR²_∗=R²\ {(0, 0)}.

. Montrer que^∂_∂^f_x(0, 0)et ^∂_∂^f_y(0, 0)existent.

. Montrer que^f n’est pas différentiable en(0, 0).

. Soit^(a,b)∈R²_∗. Montrer que^t7→f(at,bt)est différentiable surR.

Exercice IV

. Montrer que les ensembles Ω1=©¡

x,y,z¢

∈R³tels quex>0,y>0,etz>0ª

etΩ2=©

(u,v,w)∈R³tels quev+w>u,u+w>v,etu+v>wª sont des ouverts deR³.

. Soitϕ:Ω1→R³la fonction définie parϕ(x,y,z)=¡

y²+z²,x²+z²,x²+y²¢

. Montrer queϕest une bijection deΩ1sur Ω2.Indication: on pourra résoudre le système







Y+Z = u X+Z = v X+Y = w

,^(u,v,w)∈Ω2.

. Soit^f une fonction de classeC¹deR³dansR. Soit^g:Ω2→Rla fonction définie surΩ2par^g(u,v,w)=f¡

ϕ⁻¹(u,v,w)¢ , de sorte que, pour^¡x,y,z¢∈Ω1,^f(x,y,z)=g¡

ϕ(x,y,z)¢ .

(a) Calculer les dérivées partielles ^∂_∂^f_x, ^∂_∂y^f et ^∂_∂^f_z de ^f en un point^¡x,y,z¢∈Ω1en fonction des dérivées partielles_∂^∂_u^g, ^∂_∂^g_v et _∂^∂g_w deg.

(b) On suppose, dans toute la suite que, pour tout^¡x,y,z¢

∈Ω1,¹_x^∂_∂^f_x(x,y,z)+¹_y^∂_∂^f_y(x,y,z)−¹_z^∂_∂^f_z(x,y,z)=0. Que peut-on dire de _∂^∂_w^g ?

(c) Soient^u>0et^v>0fixés. Montrer que l’ensemble^©w>0tels que^(u,v,w)∈Ω2

ªest l’intervalle^]|v−w|,v+w[. (d) En déduire qu’il existe une fonction^h:R^∗₊×R^∗₊→Rtelle que ^f(x,y,z)=h(y²+z²,x²+z²).

FIN