MPSI 2
Exercice 1 Applications
1. SoitΓ⊂X×Y. Montrer : Γest un graphe fonctionnel⇔pr1est bijective.
2. Soit f : E → F une application. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : (1) f est surjective ; (2) ∀y ∈ F, f∗(f∗({y})) = {y}; (3) ∀Y ⊂ F, f∗(f∗(Y)) = Y ; (4) ∀Y ⊂ F, f∗(Y) =∅ ⇒Y =∅. Trouver un énoncé analogue pour les applications injectives.
3. Soit f : E → F une application. Montrer : f est injective ⇔ ∀X ×Y ⊂ E2, f∗(X ∩Y) = f∗(X)∩f∗(Y).
4. Théorème de factorisation : soit f : X →Y et h : X → Z. Montrer : (∃g : Y → Z, h=g◦f)
⇔ (∀(x, x0) ∈ X2, (f(x) = f(x0)⇒ h(x) = h(x0)). Justifier l’appellation du théorème. A quelle conditiong est-elle uniquement déterminée ?
5. Soitf : X →Y une application entre ensembles non vides. Montrer :f injective⇔ ∃g : Y →X, g◦f =IdX. Autrement ditf est injective si et seulement si elle est inversible à gauche.
6. Soitf :X →Y une application entre ensembles non vides. Montrer :f surjective⇔ ∃h:Y →X, f ◦h=IdY. Autrement ditf est surjective si et seulement si elle est inversible à droite.
7. Soitf : X →Y une application entre ensembles non vides. Montrer :f bijective⇔ ∃g : Y →X, g◦f =IdX∧f ◦g=IdY.
8. Soitf :X →Y etg :Y →Z. Montrer : (g◦f injective∧f surjective)⇒ginjective.
9. Soitf :X →Y etg :Y →Z. Montrer : (g◦f surjective∧g injective)⇒f surjective.
10. Soitf : X →Y,g :Y →Z eth: Z →X. On suppose que parmi les trois applicationsh◦g◦f, g◦f ◦h et f ◦h◦g deux sont surjectives et la dernière injective. Montrer que f, g et h sont bijectives. Même conclusion en échangeant surjectif et injectif.
Exercice 2 Anneaux
On note(A,+,·)un anneau.
1. Formule du multinôme : soit p≥2 et (ai)1≤i≤p ∈Ap une famille d’éléments commutants deux à deux. Montrer que, pour tout entier naturel non nuln, on a
(a1+a2+· · ·+ap)n = X
|α|=n
n!
α1!. . . αp!aα11· · ·aαpp
où la somme est étendue sur lesp-upletsαdansNp,α= (α1,· · ·, αp)avecα1+· · ·+αp =n.
2. SoitE un ensemble. Montrer que(P(E),∆,∩)est un anneau commutatif.
3. On appelle anneau de Boole un anneau Adans lequel tout élément xdeAvérifie x2 =x. Soit A un tel anneau.
(a) Montrer∀x∈A,2x= 0. (On rappelle qu’on a, par définition,2x=x+x.) (b) Montrer queAest commutatif.
(c) Calculerxy(x+y)pour xety dansA. En déduire que si Apossède plus de deux éléments, il n’est pas intègre.
(d) Montrer par un exemple queApeut être de cardinal 2. Peut-il être de cardinal 3 ? (e) Montrer que(P(E),∆,∩)est un anneau de Boole.
(f) SoitRla relation dansAdéfinie parxRy≡xy=x. Montrer queRest une relation d’ordre.
On note≤cet ordre. Est-il compatible à l’addition et à la multiplication, i.e.∀(x, y, z)∈A3, (x≤y⇒x+z≤y+z)∧((0≤x∧0≤y)⇒0≤xy) ?
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Exercice 3 Théorie des ensembles
1. SoitA,BetCdes sous-ensembles deE. On noteB¯ =E\B. MontrerA∩B =A∩C⇔A∩B¯ =A∩C.¯ 2. Établir par deux méthodesA∩B=A∪B ⇒A=B.
3. Résoudre dansP(E)l’équation en X,A∩X =B. Idem pourX∪A=B.
4. Montrer (A∪B=A∩C)∧(A∪C=C∩B)∧(B∪C=B∩A)⇒A=B=C.
5. Exprimer 1A∆B en fonction de1A et1B et en déduire(A∆B)∩C= (A∩C)∆(B∩C).
6. Donner des relations entreA∆(B∩C)et(A∆B)∩(A∆C)ainsi qu’entreA∆(B∪C)et(A∆B)∪ (A∆C). Quand y a-t-il égalité ?
7. Trouver une bijection entre CA×B et(CA)B.
8. Soit(E,≤)et(F,≤)deux ensembles ordonnés ayant chacun au moins deux éléments. Montrer qu’il n’existe pas d’ordre total sur E×F tel que les projections pr1 et pr2 soient croissantes. Montre qu’en revanche il existe une structure d’ordre telle quepr1soit croissante et telle que, pour tout x deE,pr2est croissante surpr∗1({x}). Quel est cet ordre ?
Exercice 4 Théorème de Cantor-Bernstein (*)
Soit E et F deux ensembles. On veut montrer que la relation R, définie par ERF ≡ ∃f : E → F injective, est une relation d’ordre sur les ensembles considérés à isomorphisme près et que l’ordre opposé est obtenu en remplaçant injectif par surjectif. La réflexivité et la transitivité sont immédiates.
1. Montrer : ∃f :E→F injective⇔ ∃g :F →E surjective.
2. Soit f :E →F injective et g :F →E injective. On se propose de construire une bijection deE surF. On considèreh=g◦f et G=E\g∗(F).
(a) SoitF={X⊂E|G∪h(X)⊂X}. Montrer que F est non vide.
(b) Soit(Xi)i∈I une famille d’éléments deF. MontrerT
i∈IXi∈ F. (c) SoitX ∈ F. MontrerG∪h(X)∈ F.
(d) On pose A = T
X∈FX, B =E\A, A0 =f∗(A) et B0 = g∗(B). Montrer : A0∩B0 = ∅ et A0∪B0 =F, i.e.(A0, B0)est une partition deF.
(e) Montrer qu’on définit une application ϕde E dans F en posant : ϕ(x) = f(x) si x∈ A et g◦ϕ(x) =xsix∈B.
(f) Montrer queϕest une bijection deE surF.
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