(a) Montrer que f est surjective, mais pas injective

Universit´e Bordeaux Alg`ebre 3 – Licence 2

Math´ematiques Ann´ee 2014–2015

FEUILLE D’EXERCICES n^o 1 Relations d’´equivalence, applications, factorisation Exercice 1 : Dans ce qui suit I etJ sont des intervalles non vides deR tels que quel que soit x∈ I, on aitx² ∈J. Soit f :I →J d´efinie par f(x) =x². Trouver des exemples deI et J tels que :

(a) f est injective, mais pas surjective;

(b) f est surjective, mais pas injective;

(c) f n’est ni injective, ni surjective;

(d) f est bijective.

Maintenant supposons que I =J =R. D´eterminer f⁻¹([1,4]) etf⁻¹([−1,1[).

Exercice 2 : Soit f :R² →R d´efinie par

f : (x, y)7→x+y.

(a) Montrer que f est surjective, mais pas injective. Pour a ∈ R, calculer f⁻¹({a}), et trouver une bijection entre f⁻¹({a}) et R.

Soit g :R² →R² d´efinie par g : (x, y)7→(x+y, xy).

(b) Montrer que g n’est pas injective.

(c) D´eterminer l’image de g, B =g(R²).

(d) Soit A ={(x, y) ∈ R²; x ≤y}. Montrer que la restriction de g `a A est une bijection de A dans B.

Exercice 3 : Soient E, F, et G des ensembles et soientf :E →F,g :F →G.

(a) Montrer que, si g◦f est une bijection, alors g est une surjection etf est une injection.

(b) Supposons que f et g sont des bijections, que peut-on dire deg◦f.

(c) Donnez un exemple de f et g tel que f n’est pas une surjection etg n’est pas une injection mais g◦f est une bijection.

Exercice 4 : (a) Soient E, F, G et H des ensembles et soient f : E → F, g : F → G et h : G→ H des applications. Montrer que g◦f : E →G et h◦g :F → G sont bijectives si et seulement si f, g eth sont bijectives.

(b) Soient E un ensemble et f :E →E une application v´erifiant f◦f =f. Montrer quef est injective si et seulement si elle est ´egale `a l’identit´e.

(c) Soient E un ensemble et f :E → E une application v´erifiant f ◦f◦f = f. Montrer que f est injective si et seulement si elle est surjective.

Exercice 5 : Soit E un ensemble. Montrer qu’il n’existe pas de surjection f de E surP(E).

Indication : se servir de l’ensemble A={x∈E; x6∈f(x)}.

Exercice 6 : Soit n≥1 un entier.

(a) Combien y a-t-il d’applications injectives d’un ensemble `a n ´el´ements dans un ensemble `a n+ 1 ´el´ements?

(b) Combien y a-t-il d’applications surjectives d’un ensemble `an+ 1 ´el´ements dans un ensemble

`

a n ´el´ements?

Application reciproque

Exercice 7 : (a) Soient f etg de R dans R d´efinies par f(x) = cos(x) et g(x) =x². Trouver l’image reciproque de [0,1] parf et de [−3,16] par g.

(b) Montrez que, en g´en´eral, f(f⁻¹(A))⊂A etB ⊂f⁻¹(f(B).

(c) Trouvez des exemples ou les inclusions en (b) sont strictes.

Exercice 8 : Soient E, F des ensembles et f :E →F une application.

(a) Montrer que pour tout A⊆E et tout B ⊆E, on a f(A∪B) = f(A)∪f(B).

(b) Montrer que pour tout A ⊆E et tout B ⊆ E, on a f(A∩B)⊆ f(A)∩f(B) et exhiber un exemple dans lequel cette inclusion est stricte.

(c) Montrer que f est injective si et seulement si pour tout A ⊆ E et tout B ⊆ E, on a f(A∩B) = f(A)∩f(B).

(d) Montrer que pour tout A ⊆ F et tout B ⊆ F, on a f⁻¹(A ∪B) = f⁻¹(A)∪f⁻¹(B) et f⁻¹(A∩B) = f⁻¹(A)∩f⁻¹(B).

(e) Montrer que f est injective si et seulement si pour tout A⊆E, on a A=f⁻¹(f(A)).

(f) Montrer que f est surjective si et seulement si pour tout C ⊆F, on a f(f⁻¹(C)) =C.

Factorisation

Exercice 9 : Soit E = F = Z. On d´efinit la relation R par xRy ssi x ≡ y(mod 6). On d´efinit l’applicationf :E →F par f(x) =x(mod 3).Montrer quef est constante sur les classes d’´equivalence de E pour la relation R et trouver la factorisation de f par rapport `a la relation R. L’application ainsi factoris´ee est-elle injective? surjective?

Exercice 10 : Soit E =M_n(R). Etant donn´ees deux matrices A et B dans E, on dit que A est semblable `a B s’il existe une matrice P dans E inversible telle queA =P⁻¹BP.

(a) Montrer que la relation “ˆetre semblable” est une relation d’´equivalence.

(b) Montrer que l’application d´eterminant, deE dansRest constante sur les classes d’´equivalence de E pour la relation “ˆetre semblable”.

(c) Appliquer le th´eor`eme de factorisation. L’application ainsi factoris´ee est-elle injective? sur- jective?

Exercice 11 : Soient E et F deux ensembles et soit f une application de E dans F. (a) Montrer que

xRy ssif(x) =f(y)

d´efinit une relation d’´equivalence sur E et qu’on peut appliquer le th´eor`eme de factorisation au couple (f, R).

(b) Soient E =F =R; f₁(x) = x² etf₂(x) = cos(x). Trouver les relations associ´ees `a f₁ etf₂. Exercice 12 : Soient E un ensemble et A ⊆ E. On d´efinit sur P(E) la relation R par : XRY ⇔X∩A =Y ∩A et la relationS par : XSY ⇔X∪A =Y ∪A. (a) Montrer queR et S sont des relations d´equivalence.

(b) D´eterminer les classes de ∅, E,A et E\A pour ces deux relations.

(c) ´Etablir une bijection entreP(E)/RetP(A), ainsi qu’une bijection entreP(E)/SetP(E\A).

Exercice 13 : Soient E un ensemble et R, S deux relations d’´equivalence sur E v´erifiant : pour tout x et touty∈E, xRy ⇒xSy. Si x∈E, on note x sa classe pour la relation R.

(a) Montrer que l’on peut d´efinir de fa¸con licite une relation S⁰ surE/R par : xS⁰y ⇔xSy.

(b) Montrer que S⁰ est une relation d’´equivalence.

(c) ´Etablir une bijection entre (E/R)/S⁰ et E/S.

(d) Soit E =Z.Donnez un exemple de R,S deux relations d’´equivalence sur E v´erifiant : pour tout x et tout y∈E, xRy⇒xSy. D´ecrire la bijection associ´ee a R et S par (c).