Université de Bretagne Occidentale L3 EURIA - Intégration
Contrôle continu N1 - 17/10/2017
I. Questions de cours
a) Donner la dénition d'une fonction étagée sur l'espace mesurable (X,T) à valeur dans R.
b) Quelles sont les limites simples des fonctions étagées de (X,T) à valeur dans R?
II. Soit A la famille des sous-ensembles de Rqui sont des unions d'in- tervalles semi-ouverts à extrémités entières :
A={A = [
n∈I
[n, n+ 1[⊂R: I ⊂Z}.
a) Montrer que A est une tribu sur R, et que c'est la tribu engendrée par l'ensemble des intervalles de la forme [n, n+ 1[, n∈Z.
b) Soitf une application mesurable de(R,A)dans(R,B(R)). Montrer que pour tout x∈R on a f(x) = f(E(x)).
On rappelle que la partie entière E(x) d'un réel x est l'unique entier n tel quen≤x < n+ 1.
III.
a) Déterminer les ensembles{x∈R: x1 < a}poura∈R, et en déduire que l'application f(x) = 1/xsi x6= 0, f(0) = 0est borélienne.
b) Montrer que la fonctiong: R→Rdénie par g(x) = max(f(x),2x) est borélienne.
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