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a. Soit f : E → F une application. Rappeler la d´efinition de la surjectivit´e de f . b. Donner un exemple d’application f : C → R surjective.

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Texte intégral

(1)

Universit´e Paris Diderot Alg`ebre et analyse ´el´ementaire I / 2008-2009

Test 1-a

Exercice 1.

a. Soit f : E → F une application. Rappeler la d´efinition de la surjectivit´e de f . b. Donner un exemple d’application f : C → R surjective.

Exercice 2.

Donner sous forme polaire les racines troisi`emes dans C de : Z = ( √

2 −

√ 2i)( − 2 √

3 + 2i) Exercice 3.

On consid`ere le polynˆome :

P (X) = X

4

+ 2X

3

+ X

2

+ 12X + 20

a. Montrer que -2 est une racine de P . Donner son ordre de multiplicit´e.

b. Trouver toutes les racines complexes de P ( X ).

c. Factoriser P (X) dans R [X].

Exercice 4.

R´esoudre dans C l’´equation :

z

2

+ (3 + 2 i ) z + 5 + 5 i = 0

Vous donnerez les solutions sous forme alg´ebrique. Indication : 169 = 13

2

.

1

(2)

Universit´e Paris Diderot Alg`ebre et analyse ´el´ementaire I / 2008-2009

Test 1-b

Exercice 5.

a. Soit f : E → F une application. Rappeler la d´efinition de l’injectivit´e de f.

b. Donner un exemple d’application f : R → C injective.

Exercice 6.

Donner sous forme polaire les racines quatri`emes dans C de :

Z =

√ 2 − √ 6i 1 2 + i

2 Exercice 7.

On consid`ere le polynˆome :

P (X) = X

4

− 7X

2

− 4X + 20

a. Montrer que 2 est une racine de P . Donner son ordre de multiplicit´e.

b. Trouver toutes les racines complexes de P (X).

c. Factoriser P (X) dans C [X].

Exercice 8.

R´esoudre dans C l’´equation :

z

2

+ (2 + i)z + 2 + 4i = 0.

Vous donnerez les solutions sous forme alg´ebrique. Indication : 289 = 17

2

.

1

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