Problème : Quotient d’un espace vectoriel par un sous-espace vectoriel et quelques applications
Dans ce problème,(E,+,·)un K-espace vectoriel et F etGdes sous-espaces vectoriels de E.
1. Espace quotient Montrer que
∀x, y∈E, xRy ⇔ x−y∈F définie une relation d’équivalence.
On noteE/F l’ensemble des classes d’équivalence pour cette relation d’équivalence.
2. E/F est un espace vectoriel On définit
+ : E/F ×E/F → E/F
(x, y) 7→ x+y et ·: K×E/F → E/F (λ, y) 7→ λ·y (a) Soientx, y∈E/F.
Soientx0∈x ety0 ∈y.
Montrer quex0+y0∈x+y et en déduire que l’application+est bien définie.
(b) Montrer de même que l’application·est bien définie.
(c) Montrer que(E/F,+,·) est un espace vectoriel.
3. Isomorphisme entre supplémentaire et espace quotient SoitS un supplémentaire de F dansE.
Soitx∈E/F.
En particulier, x∈E =F⊕S et donc il existe (d’uniques) f ∈F,s∈S tels quex=f+s.
Montrer que l’application
p: E/F → S x 7→ s est bien définie, linéaire et qu’il s’agit d’un isomorphisme.
4. La Technique « top » pour rendre une application surjective, injective ou bijective Soitf ∈ L(E, F).
(a) Rappeler la technique pour « rendre »f surjective.
(b) Montrer que
f : E/Ker(f) → F x 7→ f(x) est bien définie, linéaire et injective.
On vient de donner la technique pour « rendre » f injective.
(c) Donner la technique pour « faire » def un isomorphisme.
5. Cas particulier
(a) Montrer queE/F ={0}si, et seulement si, E=F.
(b) Montrer que, siF ={0} alorsE/F est isomorphe à E. Que dire de la réciproque ? Indication : On pourra considérer l’application
ϕ: R[X] → X·R[X]
P 7→ XP
6. Dimension de l’espace vectoriel E/F et théorème du rang
Uniquement dans cette question, on suppose que E est de dimension finie.
(a) Montrer que E/F est de dimension finie et donner sa dimension en fonction de dim(E) et de dim(F).
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(b) En utilisant ce qui précède, proposer une preuve du théorème du rang tenant en deux lignes.
7. CNS pour que deux sous-espaces vectoriels admettent un supplémentaire commun SoientF etG deux sous-espaces vectoriels deE.
On cherche à déterminer une condition nécessaire et suffisante surF etGpour qu’il existeS un sous-espace vectoriel deE tel que E =F⊕S=G⊕S.
On dit alors que F etGadmettent un supplémentaire commun.
Nous avons déjà répondu à cette question en Devoir Maison lorsque E est de dimension finie.
La CNS recherchée était queF etGdevait avoir la même dimension.
On pourra utiliser ce résultat dans la suite du problème.
(a) Dans le cas oùE est de dimension finie, redémontrer que la condition est bien nécessaire.
On revient au cas où E est de dimension infinie.
(b) Montrer que siF etGont la même dimension alors F etG admettent un supplémentaire commun.
Cette condition est donc une condition suffisante pour l’existence d’un supplémentaire com- mun mais elle n’est évidemment pas nécessaire puisqu’il existe des sous-espaces vectoriels de dimension infinie.
Au premier abord, notre intuition nous pousse à remplacer la condition «F et G ont la même dimension » par «F etGsont isomorphes ».
(c) Montrer qu’il n’en est rien.
(d) On démontre dans cette question que :
F etGpossèdent un supplémentaire commun si, et seulement si,F/F∩GetG/F∩Gsont isomorphes.
On noteH un supplémentaire deF∩GdansF etK un supplémentaire deF∩GdansG.
i. On suppose que F etG admettent un supplémentaire communS.
A. Soit x∈H.
En particulier, x ∈ E =F ∩G⊕K⊕S et donc il existe (d’uniques)u ∈ F∩G, k∈K,s∈S tels que x=u+k+s.
Montrer que l’application
ϕ: H → K x 7→ k
est bien définie, linéaire et qu’il s’agit d’un isomorphisme.
B. En déduire que K etH sont isomorphes puis conclure.
ii. Réciproquement, on suppose queF/F ∩GetG/F ∩G sont isomorphes.
A. Montrer que K∩F ={0}.
B. Montrer que H etK sont isomorphes.
C. On note (ei)i∈I une base de H.
Justifier que l’on peut trouver une base de (fi)i∈I de K (indexée par le même ensemble I).
D. On poseL= Vect(ei+fi, i∈I).
Montrer que les sommes F +L etG+L sont directes et égales àF +G.
E. Conclure.
* * * FIN DU SUJET * * *
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