Montrer que siA(E;b) =A(F;b0)alorsE=F

MPSI 2 Semaine 27

Exercice 1 Formules de Cramer

On s’intéresse au système linéaireAX=B avecA∈ Mn(K)etB∈ Mn,1(K).

1. Montrer que ce système a une unique solution si et seulement sidet(A)6= 0. On dit alors que c’est unsystème de Cramer.

2. On supposen= 2etdet(A)6= 0, montrer queX = (x1, x2)est solution du système si et seulement sixi= det(Ai)/det(A)oùAi est obtenue en remplaçant lai^e colonne deAparB.

3. Montrer que ce résultat est vrai pour toutnlorsquedet(A)6= 0 Exercice 2 Coordonnées de Plücker

SoitEun plan de R⁴. À toute baseb= (u, v)deE, que l’on peut voir comme une matrice à 4 lignes et 2 colonnes, on associe la matrice carréeA(E;b)d’ordre 4 dont le coefficient d’indice(i, j)est le mineur correspondant dans la matrice(u, v); i.e. siu= (ui)_1≤i≤4et v= (vi)_1≤i≤4, alors

ai,j=

ui vi

uj vj

.

1. Montrer queA(E;b)n’est pas nulle.

2. Si b et b⁰ sont deux bases de E, montrer que A(E;b)et A(E;b⁰) diffèrent d’un scalaire que l’on explicitera.

3. Montrer que siA(E;b) =A(F;b⁰)alorsE=F.

4. Montrer qu’une matrice A est de la forme A(E;b) si et seulement si elle est antisymétrique, de déterminant nul mais non nulle (i.e.^tA=−A,det(A) = 0et A6= 0).

Exercice 3 Déterminants 1. Calculer

1 4 9 16

4 9 16 25

9 16 25 36 16 25 36 49

et

1 1 1 1

1 −1 1 1

1 1 −1 1

1 1 1 −1

.

2. Soita,b,c,ddansR. Montrer

1 1 1 1

a+b b+c c+d d+a a²+b² b²+c² c²+d² d²+a² a³+b³ b³+c³ c³+d³ d³+a³

= 0.

3. Calculer le déterminant des endomorphismes suivants : – E=Cn[X],u:P(X)7→P(X+ 1)etv=u−Id.

– E=Mn(K),u(M) =^tM etv(M) =AM pour un certainAdansE.

– E={f : x7→e^xP(x),P ∈Rn[X]}et ula dérivation.

4. Montrer que le déterminant de la matrice de permutation associée àσest égal à sa signature.

5. Soitaetbdeux réels distincts etn∈N^∗. On noteD_net ∆_n les déterminants d’ordrensuivants :

Dn=

a+b b . . . b a . .. . .. ... ... . .. . .. b a . . . a a+b

et∆n=

b b . . . b a a+b . .. ... ... . .. . .. b a . . . a a+b

. Montrer, pour toutndansN^∗,

∆n =bⁿ. En utilisant la linéarité du déterminant, établir une relation de récurrence entre Dn et D_n−1. On pose pourn∈N^∗,u_n = (a−b)Dn+bⁿ⁺¹, montrer que la suite(u_n)_n≥1est géométrique et en déduireu_n puisD_n en fonction den.

Page 1/2

MPSI 2 Semaine 27

6. Montrer

1 x₁ x²₁ · · · xⁿ⁻¹₁ 1 x2 x²₂ · · · xⁿ⁻¹₂

... ... ... . .. ... 1 xn x²_n · · · xⁿ⁻¹_n

= Y

1≤i≤j≤n

(x_j−x_i). (Déterminant deVandermonde)

7. En déduire

1 a a² a⁴ 1 b b² b⁴ 1 c c² c⁴ 1 d d² d⁴

. Plus généralement étudier

1 x1 · · · xⁿ⁻²₁ xⁿ₁ 1 x2 · · · xⁿ⁻²₂ xⁿ₂ ... ... . .. ... ... 1 x_n · · · xⁿ⁻²_n xⁿ_n

.

8. Étudier

1 f1(x1) f2(x1) · · · f_n−1(x1) 1 f1(x2) f2(x2) · · · f_n−1(x2)

... ... ... . .. ... 1 f1(xn) f2(xn) · · · f_n−1(xn)

avecfk polynôme unitaire de degrék.

9. Étudier

1 ^x₁¹ x₁ 2

· · · _n−1^x1 1 ^x₁² x₂

2

· · · _n−1^x2 ... ... ... . .. ... 1 ^x₁ⁿ x_n

2

· · · _n−1^xn

où on a posé x

k

= x(x−1). . .(x−k+ 1)

k! .

10. Montrer que le déterminant de(1 +x_iy_j)_1≤i,j≤nest nul pourn≥3et les(x_i)_1≤i≤net les(y_j)_1≤j≤n dansK.

11. Montrer que le déterminant de(a_ij)_1≤i,j≤n, aveca_ij = _i−1^j

, est égal à 1.

12. Calculer le déterminant de(aij)1≤i,j≤n avec aij = 3 si i = j, aij = 2 si i =j−1 et aij = 1 si i=j+ 1.

13. On noteDn le déterminant de la matrice de taillen, dont la diagonale est constituée de√

3et dont les sur- et sous-diagonales sont formées de 1. Établir une relation de récurrence entreDn,Dn−1 et Dn−2. En déduireDn. On pourra montrer que Dn+1−e^iπ/6Dn définit une suite géométrique.

14. Calculer

sin(α) sin(2α) sin(3α) sin(β) sin(2β) sin(3β) sin(γ) sin(2γ) sin(3γ)

pourα,β et γdansR.

Exercice 4 (*) Déterminant de Vandermonde lacunaire

Soitknombres réels strictement positifs vérifiantx1< x2< . . . < xk et knombres entiers naturels tels quen1< n2< . . . < nk. Montrer

xⁿ₁¹ · · · xⁿ_k¹ ... . .. ... xⁿ₁^k · · · xⁿ_k^k

>0. On pourra utiliser le lemme de Descartes.

Exercice 5 (*) Caractérisation des fractions rationnelles (lemme de Dwork)

Soitf une série formelle à coefficients réels, c’est-à-dire une expression en l’indéterminéeX de la forme f(X) =P∞

i=0aiXⁱ avec lesai réels. On poseAs,k=

as · · · as+k

... . .. ... a_s+k · · · a_s+2k

.

1. Montrer que si f est une fraction rationnelle alors il existe deux entiers s0 et k tels que, pours supérieur às0, on aitAs,k= 0.

2. SoitE etF deux espaces vectoriels réels,(vi)_1≤i≤n une famille de vecteurs liée dans E et φet ψ dansL(E, F)vérifiantφ(vi) =ψ(v_i−1)pourientre2etn. Montrer que si la famille(φ(vi))_{1≤i≤n−1} est liée alors il en est de même pour la famille(φ(vi))_2≤i≤n.

3. En déduire que la condition trouvée en 1. est en fait nécessaire et suffisante.

Page 2/2