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Montrer que si A ∩ B 6= ∅

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Academic year: 2022

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(1)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Corps des réels

1.

(Ere01)

Soit A et B deux parties non vides et bornées de R. Montrer que A ⊂ B entraîne

sup A ≤ sup B et inf B ≤ inf A.

Montrer que si A ∩ B 6= ∅

max(inf A, inf B ) ≤ inf(A ∩ B) et que

sup(A ∩ B) ≤ min(sup A, sup B)

2.

(Ere02)

Soit A et B deux parties non vides et bornées de R. On dénit une partie de R notée A + B par :

A + B = {a + b, (a, b) ∈ A × B}.

Montrer A + B est bornée et que

sup(A +B) = sup A + sup B, inf(A+ B) = inf A + inf B.

3.

(Ere03)

Soit A une partie bornée de R, montrer que sup

x − y, (x, y) ∈ A 2 = sup A − inf A.

4.

(Ere04)

Pour tout réel x , on note bxc sa partie entière. Pour tout n ∈ N , et tous x et y réels, montrer les relations

0 ≤ bnxc − nbxc ≤ n − 1 bx + yc − bxc − byc ∈ {0, 1}

0 ≤ b2xc − 2bxc ≤ 1

− 2 ≤ 3b2xc − 2b3xc ≤ 1

5.

(Ere05)

Soit f une fonction de [0, 1] dans [0, 1] telle que

∀(x, y) ∈ [0, 1] 2 , |f (x) − f (y)| ≥ |x − y| .

Montrer que f(x) = x pour tous les x de [0, 1] ou que f (x) = 1 − x pour tous les x de [0, 1] .

6.

(Ere06)

Soit x un nombre réel, on suppose qu'il existe une suite (y n ) n∈ N de nombres entiers tels que, pour tous les entiers n :

0 <

x − y n

n!

< 1

n! . Montrer que x est irrationnel.

7.

(Ere07)

Soit a b < d c deux nombres rationnels. Montrer que

∀(p, q) ∈ N 2 , a

b < pa + qc pb + qd < c

d .

En particulier, a+c b+d est la fraction médiane de a b < c d . 8.

(Ere08)

Suites de Farey. Soit n ∈ N, n ≥ 2 .

Parmi tous les rationnels de ]0, 1[ , considérons ceux qui peuvent s'écrire avec un dénominateur inférieur ou égal à n . La suite ordonnée de ces nombres forme, par dé- nition, la suite de Farey d'ordre n . On la note S n .

a. Former S n pour n entre 3 et 5.

b. Pour les S n calculées : vérier que le numérateur de la dierence entre deux termes consécutifs de S n vaut 1 après simplication et que le deuxième terme d'une séquence de trois termes consécutifs est la fraction médiane des deux autres (dénie en 7

(Ere07)

).

9.

(Ere09)

Pour n ∈ N , on note F n l'ensemble des valeurs de la suite de Farey S n . (Ex 8

(Ere08)

)

Soit x ∈ ]0, 1[ irrationnel.

a. Justier l'existence de α n = min{|x − u| , u ∈ F n } et montrer que α n > 0 . Que penser d'un rationnel

p

q tel que

p q − x

< α n ? b. Soit ( p q

n

n

) n∈ N avec 0 < p n < q n dans N, une suite de rationnels qui converge vers l'irrationnel x . Montrer que (q n ) n∈N et (p n ) n∈N divergent vers +∞ . 10.

(Ere10)

Critères d'irrationalité.

a. Soit β > 0 rationnel, montrer qu'il existe q 0 ∈ N tel que, pour tout couple (p, q) ∈ N ∗2 ,

p q 6= β ⇒

β − p q

≥ 1 qq 0

b. Soit β > 0 irrationnel, montrer que les valeurs de la suite des parties fractionnaires ({nβ}) n∈ N sont deux à deux distinctes. On dira que la suite est injective. En déduire

β > 0 irrationnel ⇒

∀n ∈ N , ∃(p, q) ∈ Z × Z tq 0 < |qβ − p| ≤ 1 n c. Soit β > 0 pour lequel qu'il existe un q 0 ∈ N tel

que, pour tout couple (p, q) ∈ N ∗2 , p

q 6= β ⇒

β − p q

≥ 1 qq 0 Montrer que β est rationnel.

d. Montrer qu'un nombre réel x > 0 est irrationnel si et seulement si il existe deux suites (a n ) n∈

N et (b n ) n∈

N d'entiers tels que

∀n ∈ N , a n x + b n 6= 0 et (a n x + b n ) n∈

N → 0 11.

(Ere11)

Quels sont les réels x tels que bxc + b x 1 c = 1 ? 12.

(Ere12)

Soit α et β ∈ R. Remplacer les ? dans les

formules suivantes par des expressions formées avec α , β b c et d e . La première ligne du tableau est un exemple.

Partie de R Intervalle entier Nb élts ]0, β] ∩ Z K 0, bβc K bβc ]−∞, β] ∩ Z K − ∞, ? K

[α, +∞[ ∩ Z J ? , +∞ J

]α, β] ∩ Z K ? , ? K ? [α, β[ ∩ Z J ? , ? J ? ]α, β[ ∩ Z K ? , ? J ? [α, β] ∩ Z J ? , ? K ? 13.

(Ere13)

Soit (x n ) n∈

N une suite à valeurs strictement posi- tives qui converge vers 0 . Notons

∀p ∈ N , X p = {x n , n ≥ p}

(2)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Corps des réels

a. Montrer l'on peut extraire de (x n ) n∈

N une suite décroissante qui converge vers 0 .

b. Montrer que, quelque soit p ∈ N, l'ensemble X p

admet un plus grand élément.

c. Soit A l'ensemble des p ∈ N tels que x p = max X p . En raisonnant par l'absurde, montrer que A est in- ni.

14.

(Ere14)

Soit (u n ) n∈N une suite à valeurs strictement posi- tives. Montrer en utilisant la dénition avec ε et N ε et en précisant soigneusement le N que

(u n ) n∈

N → 0 ⇔ ( √

u n ) n∈N → 0 15.

(Ere15)

Suites sous-additives. Lemme de Feteke.

Soit (u n ) n∈ N une suite de réels positifs, telle que

∀(m, n) ∈ N 2 , u m+n ≤ u m + u n .

Montrer que ( u n

n

) n∈ N

converge vers inf{ u n

n

, n ∈ N } . (dicile, utiliser une division euclidienne.)

16.

(Ere16)

On rappelle les notations suivantes :

∀x ∈ R :

 

 

bxc = max {k ∈ Z tq k ≤ x}

dxe = min {k ∈ Z tq x ≤ k}

x = bxc + {x}

.

a. Montrer que d−xe = −bxc pour tout x réel.

b. Montrer que ∀n ∈ N , bnxc = nbxc + bn{x}c . En déduire b 1 n bnxcc = bxc si n 6= 0 .

c. Montrer que, pour tout n ∈ N et x ∈]0, 1[ réel,

n−1

X

k=0

bx + k

n c = bnxc.

Étendre la formule à tous les x réels.

17.

(Ere17)

Soit (x n ) n∈

N une suite de nombres réels. On dé- nit, pour tout n ∈ N :

d n = x n+1 − x n a n = d + n b n = d n A n =

n

X

k=0

a k B n =

n

X

k=0

b k D n =

n

X

k=0

|d k |

Montrer que (x n ) n∈

N est la diérence de deux suites croissantes. Montrer que la convergence de (D n ) n∈

N en- traine celle de (x n ) n∈

N .

voir l'exercice sur la dénition de l'exponentielle com- plexe.

18.

(Ere18)

Soit f une fonction croissante de [0, 1] dans [0, 1] . On considère

A = {x ∈ [0, 1] tel que f (x) ≥ x}

B = {x ∈ [0, 1] tel que x ≥ f (x)}

Montrer que A est non vide et que sa borne supérieure c est un point xe de f (c'est à dire f (c) = c ). Montrer que B est non vide et que sa borne inférieure d est un point xe de f .

19.

(Ere19)

Soit (a n ) n∈ N une suite de nombres réels stricte- ment positifs. On note :

A n =

n

X

k=0

a k , B n = A n + a n .

Sous quelle condition, les suites (A n ) n∈ N et (B n ) n∈ N sont-elles adjacentes ?

Exemple. Soit x ∈ R et a n = x n!

n

. La condition précé- dente s'applique-t-elle ?

20.

(Ere20)

On dénit la suite (x n ) n∈N

dénie par

x n =

n

X

k=0

1 2 k · k!

a. Soit n et m dans N tels que n < m . Montrer que

m

X

k=n+1

1

2 k · k! ≤ 1 2 n (n + 1)!

b. Montrer que (x n ) n∈N

est convergente. On note x sa limite.

c. Soit n ∈ N , montrer que

0 < x − x n ≤ 1 2 n (n + 1)!

En déduire que x est irrationnel.

21.

(Ere21)

On rappelle que la partie fractionnaire d'un réel x est x − bxc . Elle est souvent notée {x} .

Soit n entier naturel, montrer que ( √

3 − 1) 2n+1 est la partie fractionnaire de ( √

3 + 1) 2n+1 .

Soit d un nombre naturel qui n'est pas le carré d'un nombre naturel, soit a et b des naturels non nuls. Sous quelle condition (a − b √

d) 2n+1 est-il la partie fraction- naire de (a + b √

d) 2n+1 pour n ∈ N ?

22.

(Ere22)

Soit (x n ) n∈N une suite de nombres réels stricte- ment positifs qui converge vers 0. Montrer qu'il existe une innité d'entiers p tels que, pour tout entier n :

n ≥ p ⇒ x n ≤ x p

23.

(Ere23)

Soit I un intervalle de R et f une fonction crois- sante de I dans I . Montrer que, pour tout x ∈ I ,

f ◦ f (x) = x ⇔ f (x) = x 24.

(Ere24)

Soit

A =

 X

(i,j)∈J 1,n K

2

x i x j

, (x 1 , · · · , x n ) ∈ ]0, +∞[ n

 Montrer que A admet une borne inférieure. Admet-il un plus petit élément ?

25.

(Ere25)

Soit X ⊂ R et Y ⊂ R non vides telles que

∀(x, y) ∈ X × Y, x ≤ y.

a. Montrer que X est majoré, Y minoré et former une

inégalité entre sup X et inf Y .

(3)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Corps des réels

b. Montrer que sup X = inf Y si et seulement si

∀ε > 0, ∃(x ε , y ε ) ∈ X × Y tq y ε − x ε ≤ ε.

26.

(Ere26)

Montrer que pour tous x et y réels, bxc + bx + yc + byc ≤ b2xc + b2yc.

27.

(Ere27)

Montrer que

(1) ∀(m, n) ∈ Z 2 , b n + m

2 c + b n − m + 1 2 c = n (2) ∀x ∈ R , b x + 1

2 c = b bxc + 1 2 c

28.

(Ere28)

Montrer que A est borné et préciser ses bornes avec

A = 1

n + (−1) n , n ∈ N

29.

(Ere29)

Soit A ⊂ R non vide et x ∈ R. On note D x (A) = {|x − a|, a ∈ A} , d(x, A) = inf D x (A).

a. Montrer que

∀(x, y) ∈ R 2 , |d(x, A) − d(y, A)| ≤ |x − y|.

b. Montrer que, pour tout réel x ,

d(x, A) = 0

⇔ ∃(a n ) n∈ N tq

( (a n ) n∈ N → x

∀n ∈ N , a n ∈ A . 30.

(Ere30)

Pour tout réel x ,

x ∈ Q ⇔ ∃q ∈ N tq qx ∈ Z . Pour x ∈ Q, notons

q(x) = min {q ∈ N tq qx ∈ Z } , p(x) = xq(x).

Notons n = p(x 2 ) = xq(x 2 ) . a. Montrer que

∀a ∈ N , nq(x) − ap(x) = x q(x 2 )p(x) − aq(x) . b. Soit a = bq(x 2 )xc . Montrer que

0 ≤ q(x 2 )p(x) − aq(x) < q(x).

En déduire q(x 2 )p(x) − aq(x) = 0 puis q(x 2 )x ∈ N.

c. Soit x ∈ Q. Montrer (sans arithmétique) que

x 2 ∈ N ⇒ x ∈ N .

(4)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Corps des réels : corrigés

1. pas de correction pour Ere01.tex

2.

(Cre02)

Pour tout s ∈ A + B , il existe (a, b) ∈ A × B tel que

s = a + b ⇒ inf A + inf B ≤ s ≤ sup A + sup B.

On en déduit que A + B est bornée et que

inf A +inf B ≤ inf(A+B) ≤ sup(A +b) ≤ sup A+sup B.

D'autre part, notons S = sup(A + B) ,

(∀a ∈ A, ∀b ∈ B, a + b ∈ A + B)

⇒ (∀a ∈ A, ∀b ∈ B, a + b ≤ S)

⇒ (∀a ∈ A, (∀b ∈ B, b ≤ S − a))

⇒ (∀a ∈ A, S − a majore B)

⇒ (∀a ∈ A, sup B ≤ S − a)

⇒ (∀a ∈ A, a ≤ S − sup B)

⇒ (S − sup B majore A)

⇒ sup A ≤ S −sup B ⇒ sup A+ sup B ≤ sup(A +B).

On en déduit sup A + sup B = sup(A + B) .

L'égalité pour les bornes inférieures se démontre par une suite d'implications analogues commençant par

(∀a ∈ A, ∀b ∈ B, inf(A + B) ≤ a + b) ⇒ · · · . 3.

(Cre03)

On peut raisonner comme dans l'exercice 2. On

peut aussi appliquer le résultat de cet exercice en notant B = {−a, a ∈ A} .

et en commençant par vérier que sup B = − inf A.

4.

(Cre04)

Écrivons les encadrements dénissant les parties entières. En les combinant, on obtient des encadrements avec des inégalités strictes. Elles sont équivalentes aux inégalités larges demandées parce que les quantités en jeu sont entières.

5.

(Cre05)

En appliquant la relation avec 0 et 1 , on obtient

|f (0) − f (1)| ≥ 1 ce qui, combiné avec f (0) et f (1) dans [0, 1] , entraine que f (0) = 0 et f(1) = 1 ou f (0) = 1 et f (1) = 0 . On passe d'un cas à l'autre en considérant 1 − f qui vérie la même propriété que f .

On suppose donc f (0) = 0 et f (1) = 1 . On applique la propriété entre 0 et x ∈]0, 1[ :

|f (x)| ≥ |x|

f (x) ∈ [0, 1]

)

⇒ f (x) ≥ x

puis entre 1 et x

|f(x) − 1| ≥ |x − 1|

f (x) ∈ [0, 1]

)

⇒ 1 − f (x) ≥ 1 − x

⇒ f (x) ≤ x 6. pas de correction pour Ere06.tex

7. pas de correction pour Ere07.tex 8. pas de correction pour Ere08.tex 9. pas de correction pour Ere09.tex 10.

(Cre10)

Critères d'irrationalité.

a. Soit β = a b > 0 avec a et b ∈ N . Alors

β − p q

= |qa − pb| 1 bq

On peut donc prendre q 0 = b car |qa − pb| ≥ 1 (naturel non nul).

b. Si m et n sont des entiers distincts tels que nβ = bnβ c + {nβ} et mβ = bmβc + {mβ}

alors

{nβ} = {mβ} ⇒ β = bnβc − bmβc n − m ∈ Q La suite injective ({nβ}) n∈

N prend une innité de valeurs dans ]0, 1[ . Pour tout n > 0 , il existe (prin- cipe des tiroirs) des entiers distincts u et v tels que

|{uβ} − {vβ}| < 1 n On en tire

(u − v)

| {z }

=q

β − (buβc − bvβc)

| {z }

=p

< 1 n

c. La proposition contraposée de la précédente est :

∃n ∈ N tq ∀(p, q) ∈ Z × Z

|qβ − p| = 0 ou

|qβ − p| > 1 n

⇒ β rationnel Lorsque β vérie l'hypothèse de c. et en prenant un n > q 0 , la proposition entre parenthèse est vériée assurant que β est rationnel.

d. Supposons β irrationnel. La question b. montre l'existence des suites d'entiers vériant la condi- tion.

Réciproquement, supposons l'existence des suites d'entiers a n et b n vériant la condition. La condi- tion de la question a. ne peut alors être vériée donc β n'est pas rationnel.

11.

(Cre11)

Comme les deux parties entières sont des entiers, il faut et il sut que l'une soit 1 et l'autre 0 . Après manipulations des inégalités, on trouve que l'ensemble des solutions est 1

2 , 1

∪ ]1, 2[

12.

(Cre12)

[α, +∞[ = J dαe, +∞ J ]−∞, β] = K − ∞, bβc K

(5)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Corps des réels : corrigés

Partie de R Intervalle entier Nb élts ]0, β] ∩ Z K 0, bβc K bβ c ]α, β] ∩ Z K bαc, bβc K bβc − bαc [α, β[ ∩ Z J dαe, dβe J dβe − dαe ]α, β[ ∩ Z K bαc, dβe J dβe − bαc − 1 [α, β] ∩ Z J dαe, bβc K bβc − dαe − 1 13.

(Cre13)

a. Notons i 0 = 0 . D'après la dénition de la conver- gence avec ε = x i

0

, il existe i > i 0 tel que

0 < x i

1

< x i

0

On construit ainsi par récurrence une suite d'in- dices i 0 < i 1 < · · · . La construction de l'indice suivant i p est justié par le raisonnement suivant.

Comme x i

p

> 0 et que la suite converge vers 0 , il existe i p+1 tel que

i p+1 > i p et x i

p+1

< x i

p

La suite extraite x i

p

p∈N est alors décroissante.

Elle converge vers 0 car elle est extraite d'une suite qui converge vers 0 .

b. Soit p ∈ N et v un élément quelconque de X p (peu importe l'indice en lequel il est atteint). Comme la suite converge vers 0 , il existe un n v > p tel que

n ≥ n v ⇒ x n ≤ v On en déduit que

max(x p , x p+1 , · · · , x n

v

, v) est le plus grand élément de X p . c. On raisonne par l'absurde.

Si A est ni, il existe N ∈ N tel que

∀n ≥ N, x n 6= max X n Or x n ∈ X n donc

x n 6= max X n ⇔ x n < max X n

Notons i 0 = N , il existe i 1 > N tel que x i

0

< x i

1

= max X i

0

Alors x i

1

< max X i

1

donc il existe i 2 > i 1 tel que x i

1

< x i

2

= max X i

1

On forme ainsi une suite extraite x i

p

p∈ N crois- sante en contraction avec la convergence vers 0 de la suite.

14.

(Cre14)

Supposons que (u n ) n∈N converge vers 0 .

∀ε > 0, ∃N u,ε tq . . . .

Le N u,ε

2

est un N ε qui convient pour justier que ( √

u n ) n∈ N converge vers 0 .

n ≥ N u,ε

2

⇒ 0 ≥ u n ≥ ε 2 ⇒ 0 ≥ √ u n ≥ ε.

Réciproquement, si ( √

u n ) n∈ N → 0 , le N u, ε est un N ε qui justie (u n ) n∈ N → 0 .

15.

(Cre15)

Soit V = u

n

n , n ∈ N et l = inf V .

Il s'agit de la borne inférieure d'une partie non vide mi- norée par 0 . Par dénition c'est un minorant de V donc

∀n ∈ N , l ≤ u n

n .

Soit ε > 0 . Alors l + ε 2 ≤ l est faux donc l + ε 2 n'est pas un minorant de V (la borne inférieure est le plus grand des minorants). Donc :

∃s ∈ N tq u s

s < l + ε 2 .

Écrivons la division euclidienne de n ∈ N par s :

∃(q, s) ∈ N × J 0, s − 1 K tq n = q s + r.

La condition de sous-additivité entraine u n ≤ q u s + u r .

Notons M = max(u 1 , u 2 , · · · , u s−1 et divisons par n : u n

n ≤ q

n u s + u r n ≤ qs

n

|{z}

≤1

u s s + M

n ≤ u s s + M

n .

Comme la suite ( M n ) n∈ N

converge vers 0 ,

∃t ∈ N tq n ≥ t ⇒ M n ≤ ε

2 . Soit N = max(s, t) .

∀n ≥ N, l ≤ u n n ≤ u s

s

|{z}

≤l+

ε2

+ M n

|{z}

ε2

≤ l + ε.

Voir le corrigé du problème Et si j'en achète plusieurs ? Combien pour chaque ? sur les suites sous-additives 16.

(Cre16)

a. Par dénition de la partie entière supérieure puis de la partie entière usuelle

− x ≤ d−xe ⇒ −d−xe ≤ x ⇒ −d−xe ≤ bxc

⇒ −bxc ≤ d−xe De manière analogue,

bxc ≤ x ⇒ −x ≤ −bxc ⇒ d−xe ≤ −bxc b. On décompose x en partie entière et fractionnaire

x = bxc + {x} ⇒ nx = nbxc

∈ Z

+ n{x}

∈[0,n[

⇒ bnxc = nbxc + bn{x}c

∈ J 0,n−1 K

⇒ 1

n bnxc = bxc + 1 n bn{x}c

∈[0,1[

⇒ b 1

n bnxcc = bxc

(6)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Corps des réels : corrigés

c. Notons que 0 < x + k n < 2 , sa partie entière ne peut prendre que les valeurs 0 ou 1 . La somme propo- sée est donc égale au nombre de k pour lesquels la partie entière vaut 1 . Or

bx + k

n c = 1 ⇔ 1 ≤ x + k n

⇔ n(1 − x) ≤ k ⇔ dn(1 − x)e ≤ k On en déduit que la somme cherchée vaut

] J dn(1 − x)e, n − 1 K = n − 1 − dn(1 − x)e + 1

= n − dn − nxe = −d−nxe = bnxc en utilisant le a. et le fait que dy + me = m + dye pour y réel et m entier. En utilisant une formle analogue pour la partie entière, on étend facilement la relation dans R à l'aide de la première formule de la question b.

17.

(Cre17)

Par dénition de la partie positive et de la partie négative d'un réel,

x k+1 − x k = d k = a k − b k

⇒ x n = x 0 +

n−1

X

k=0

d k = x 0 + A n − B n .

Les suites (A n ) n∈N et (B n ) n∈N sont croissantes car A n+1 − A n = a n ≥ 0, B n+1 − B n = b n ≥ 0.

D'autre part

|d k | = a k + b k ⇒ D n = A n + B n .

Si la suite (D n ) n∈ N est croissante, elle est majorée. Soit D un de ses majorants. C'est aussi un majorant des suites (A n ) n∈ N et (B n ) n∈ N . Comme ces suites sont crois- santes, elles convergent. La suite (x n ) n∈ N est la dié- rence des deux donc elle converge aussi.

18. pas de correction pour Ere18.tex

19.

(Cre19)

Examinons les diérentes conditions.

∀n ∈ N , a n > 0 ⇒

( (A n ) n∈N croissante

A n ≤ B n .

(B n − A n ) n∈N → 0 ⇔ (a n ) n∈N → 0.

(B n ) n∈ N décroissante

⇔ ∀n ∈ N , A n+1 + a n+1 ≤ A n + a n

⇔ ∀n ∈ N , 2a n+1 ≤ a n . De plus cette condition assure que (a n ) n∈ N → 0 . Pour x n = x n!

n

cette condition est vériée seulement pour 0 < x ≤ 1 2 car

a n+1

a n

= n x n + 1 . 20. pas de correction pour Ere20.tex

21.

(Cre21)

Séparons les indices pairs et impairs de la formule du binôme :

( √

3 + 1) 2n+1 = X

k pair

2n + 1 k

3 2n+1−k

| {z }

=A

+ X

k impair

2n + 1 k

3 2n+1−k

| {z }

=B

Lorsque k est impair, 2n + 1 − k est pair donc B est entier. De plus, en considérant le développement de ( √

3 + 1) 2n+1 , on obtient que

A = 1 2

( √

3 + 1) 2n+1 + ( √

3 − 1) 2n+1 B = 1

2

( √

3 + 1) 2n+1 − ( √

3 − 1) 2n+1 On en déduit

( √

3 + 1) 2n+1 = 2B + ( √

3 − 1) 2n+1 avec

0 < ( √

3 − 1) 2n+1 < 1 car 1 < √

3 < 2 . Si (a − b √

d) 2n+1 = n

(a + b √

d) 2n+1 o

alors on doit avoir

0 < a − b

√ d < 1

La condition est susante car on peut raisonner exacte- ment comme avec √

3 + 1 . On remarque que la condition se traduit par

a = db √ de.

qui permet des calculs fournissant d'autres exemples : 5 + 2 √

5, 8 + 3 √ 7, · · · 22.

(Cre22)

Notons, pour tout entier p

X p = {x n , n ≥ p}

Cela permet de reformuler la condition de l'énoncé :

∀n ≥ p : x n ≤ x p ⇔ x p = max X p

On nous demande donc de prouver que, lorsque la suite (x n ) n∈N converge vers 0 , l'ensemble (notons le A ) des p tels que x p = max X p est inni.

En fait on va montrer que lorsque cet ensemble est ni, on peut extraire de (x n ) n∈N une suite croissante ce qui est évidemment incompatible (thm de passage à la limite dans une inégalité) avec une convergence vers 0.

Si A est ni, il existe un N tel que pour tout n ≥ N : x n < max X n . Posons i 0 = N

x i

0

< max X i

0

⇒ ∃i 1 > i 0 tel que x i

0

< x i

1

x i

1

< max X i

1

⇒ ∃i 2 > i 1 tel que x i

1

< x i

2

· · ·

(7)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Corps des réels : corrigés

23.

(Cre23)

Soit x dans I tel que f ◦f (x) = x . Si x ≤ f (x) alors f (x) ≤ f ◦ f(x) = x car f est croissante donc f (x) = x . De même si f (x) ≤ x .

24.

(Cre24)

La partie A est non vide et minorée par 0 . Mon- trons qu'elle admet un plus petit éléments

∈ A = min A = n 2 .

En eet n 2 ∈ A en prenant tous les a i = 1 . D'autre part, on sait que

∀t > 0, t + 1 t ≥ 2.

On en déduit,

X

(i,j)∈ J 1,n K

2

x i

x j = n + 2 X

i<j

 x i

x j + x j

x i

| {z }

≥2

≥ n + n(n − 1)

2 × 2 = n 2 . Donc n 2 est bien un minorant de A qui appartient à A . 25.

(Cre25)

Traduisons l'hypothèse en termes de bornes supé-

rieure et inférieure

∀(x, y) ∈ X × Y, x ≤ y ⇒ ∀x ∈ X, (∀y ∈ Y, x ≤ y)

⇒ ∀x ∈ X, x est un minorant de Y

⇒ ∀x ∈ X, x ≤ inf Y ( inf Y max des minorants)

⇒ inf Y est un majorant de X

⇒ sup X ≤ inf Y ( sup X min des majorants) . 26.

(Cre26)

La formule est conservée si on ajoute des entiers à

x et y . On peut donc supposer x et y dans [0, 1[ . On véri- e ensuite la formule dans diérents cas selon la position par rapport à 1 2 .

27.

(Cre27)

Preuve de (1). Notons s la somme des parties en- tières. Avec les encadrements de dénition habituels, on obtient :

n − 3

2 < s ≤ n + 1 2

Cela justie seulement s ∈ {n − 1, n} . Pour terminer, on remarque que n + m et n − m + 1 n'ont pas la même parité. On peut donc remplacer un des encadrements par une égalité ce qui conduit à

n − 1

2 < s ≤ n + 1

2 ⇒ s = n.

Preuve de (2).

x = bx+c + {x}

⇒ b x + 1

2 c = b bxc + 1 2

| {z }

Z2

+ {x}

2

|{z}

∈ [ 0,

12

[

c = b bxc 2 c.

28.

(Cre28)

Vérier que max A = 3 2 et inf A = −1 . 29.

(Cre29)

a. Soit A ⊂ R et x , y réels

∀a ∈ A, d(x, A) ≤ |x − a| ≤ |x − y| + |y − a|

⇒ ∀a ∈ A, d(x, A) − |x − y| ≤ |y − a|

⇒ ∀a ∈ A, d(x, A) − |x − y| minorant de D y (A)

⇒ ∀a ∈ A, d(x, A) − |x− y| ≤ d(y, A) = inf D y (A)

⇒ ∀a ∈ A, d(x, A) − d(y, A) ≤ |x − y|.

On obtient l'autre inégalité en partant de d(y, A) . b. à compléter

30. pas de correction pour Ere30.tex

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