Lycée Hoche MPSI B Feuille Corps des réels
1.
(Ere01)Soit A et B deux parties non vides et bornées de R. Montrer que A ⊂ B entraîne
sup A ≤ sup B et inf B ≤ inf A.
Montrer que si A ∩ B 6= ∅
max(inf A, inf B ) ≤ inf(A ∩ B) et que
sup(A ∩ B) ≤ min(sup A, sup B)
2.
(Ere02)Soit A et B deux parties non vides et bornées de R. On dénit une partie de R notée A + B par :
A + B = {a + b, (a, b) ∈ A × B}.
Montrer A + B est bornée et que
sup(A +B) = sup A + sup B, inf(A+ B) = inf A + inf B.
3.
(Ere03)Soit A une partie bornée de R, montrer que sup
x − y, (x, y) ∈ A 2 = sup A − inf A.
4.
(Ere04)Pour tout réel x , on note bxc sa partie entière. Pour tout n ∈ N ∗ , et tous x et y réels, montrer les relations
0 ≤ bnxc − nbxc ≤ n − 1 bx + yc − bxc − byc ∈ {0, 1}
0 ≤ b2xc − 2bxc ≤ 1
− 2 ≤ 3b2xc − 2b3xc ≤ 1
5.
(Ere05)Soit f une fonction de [0, 1] dans [0, 1] telle que
∀(x, y) ∈ [0, 1] 2 , |f (x) − f (y)| ≥ |x − y| .
Montrer que f(x) = x pour tous les x de [0, 1] ou que f (x) = 1 − x pour tous les x de [0, 1] .
6.
(Ere06)Soit x un nombre réel, on suppose qu'il existe une suite (y n ) n∈ N de nombres entiers tels que, pour tous les entiers n :
0 <
x − y n
n!
< 1
n! . Montrer que x est irrationnel.
7.
(Ere07)Soit a b < d c deux nombres rationnels. Montrer que
∀(p, q) ∈ N ∗ 2 , a
b < pa + qc pb + qd < c
d .
En particulier, a+c b+d est la fraction médiane de a b < c d . 8.
(Ere08)Suites de Farey. Soit n ∈ N, n ≥ 2 .
Parmi tous les rationnels de ]0, 1[ , considérons ceux qui peuvent s'écrire avec un dénominateur inférieur ou égal à n . La suite ordonnée de ces nombres forme, par dé- nition, la suite de Farey d'ordre n . On la note S n .
a. Former S n pour n entre 3 et 5.
b. Pour les S n calculées : vérier que le numérateur de la dierence entre deux termes consécutifs de S n vaut 1 après simplication et que le deuxième terme d'une séquence de trois termes consécutifs est la fraction médiane des deux autres (dénie en 7
(Ere07)).
9.
(Ere09)Pour n ∈ N ∗ , on note F n l'ensemble des valeurs de la suite de Farey S n . (Ex 8
(Ere08))
Soit x ∈ ]0, 1[ irrationnel.
a. Justier l'existence de α n = min{|x − u| , u ∈ F n } et montrer que α n > 0 . Que penser d'un rationnel
p
q tel que
p q − x
< α n ? b. Soit ( p qn
n