Soit a et b deux réels tels que . Montrer que l’on a :

(1)

PanaMaths Avril 2013 Soit a et b deux réels tels que 0   a b .

Montrer que l’on a :

b a

dx b a x ab

 



Analyse

L’inégalité nous conduit à penser à … l’inégalité de Cauchy-Schwarz … Non ? 

Résolution

Considérons, sur l’intervalle



^{a b}^;



 ^*, les fonctions f x: ¹

x et g x: 1.

L’inégalité de Cauchy-Schwarz s’écrit :

 ^

^a^b ^{f x g x dx}

    

² ^

 ^

^a^b ^f²

^{ }

^{x dx}

  ^

^a^b^g²

^{ }

^{x dx}



^.

On a :

   

 

^a^b ^{f x g x dx}



² ^{ }^_



^a^b^dx_x ^^_²



^a^b ²

   

^a^b ²

^{ } 

^a^b ²

 

^a^b ¹ ^b

^ ^

¹ ¹

^ ^{ } ^

²

a

dx b a

f x dx g x dx dx b a b a

x x b a ab

      

            

   

On a donc : ^b ²

 

²

a

dx b a

x ab

   

 





 ^.

Comme b a 0, on a :



^{b a}



² b a

ab ab

 

 .

Par ailleurs, comme la fonction inverse prend des valeurs positives sur l’intervalle



^{a b}^;



^{, on}

a : ^b 0

a

dx x 



^.

On en déduit :

 

²

2

b b

a a

dx b a dx b a

x ab x ab

 

    

 









Le résultat est établi.

(2)

PanaMaths Avril 2013 Résultat final

Pour tout intervalle



^{a b}^;



 ^*, on a :

b a

dx b a x ab

 

